Lineární funkce

Funkce f je lineární, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru f(x) = a\cdot x + b, kde a a b jsou konstanty. Grafem lineární funkce je přímka. Parametr a je směrnice (též nazývaná sklon), parametr b určuje její svislý posun (též nazývaný absolutní člen).

Aby byla funkce lineární, nemusí být nutně přímo zapsána ve tvaru f(x) = a\cdot x + b. Stačí, když jde na tento tvar upravit.

S lineárními funkcemi souvisí následující dílčí témata:

• Grafy lineárních funkcí – grafický význame směrnice a absolutního členu, zakreslení grafu podle funkčního předpisu, odvození funkčního předpisu podle grafu
• Vlastnosti lineární funkce – ujasnění obecných vlastnosti funkcí (např. definiční obor, obor hodnost, omezenost, periodičnost) v případě lineární funkce
• Základní rovnice s jednou neznámou – základní rovnice s jednou neznámou odpovídají rovnosti lineárních funkcí a můžeme je ztvárnit graficky pomocí přímek, které představují grafy těchto funkcí

Funkce f je lineární, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru f(x) = a\cdot x + b, kde a a b jsou konstanty. Definiční obor lineární funkce je celá množina reálných čísel.

Speciálním případem lineární funkce je funkce konstantní. Tu dostáváme v případě, že a=0.

Pokud a \neq 0, pak pro lineární funkci platí:

• je prostá,
• není shora ani zdola omezená,
• nemá maximum ani minimum,
• není periodická,
• obor hodnot je množina reálných čísel.

Pro a \gt 0 je funkce f rostoucí, pro a \lt 0 je funkce f klesající.

Pro b=0 je funkce f lichá.

Grafem lineární funkce je přímka. Průsečík grafu s osou y je v bodě [0, b]. Průsečík grafu s osou x je v bodě [-\frac{b}{a}, 0].

Nejjednodušší rovnice obsahují pouze lineární výrazy, tj. vyskytují se v nich pouze konstanty a násobky proměnné x. Rovnici upravujeme pomocí ekvivalentních úprav: přičítání a odčítání stejného výrazu k oběma stranám rovnice, úpravy výrazů na levé a pravé straně. Pomocí takových úprav ji převedeme do tvaru x = a, kde a je řešení.

Počet řešení

U základních lineárních rovnic mohou nastat tři případy:

• Rovnice nemá žádné řešení, např. x+2=x+3.
• Rovnice má nekonečně mnoho řešení, např. u rovnice x+1+x = 2x+1 je řešením rovnice je libovolné číslo.
• Rovnice má právě jedno řešení, např. výše uvedená rovnice 2x-7 = 5-4x má jediné řešení x=2.

Časté chyby

Mezi časté chyby při řešení rovnic patří:

• provedení úpravy (přičtení čísla, vydělení čísel) pouze na jedné straně rovnice,
• chybné zkombinování konstant a výrazů s proměnnou x, např. úprava 3x + 2 na 5x,
• špatné znaménko u výrazu při převádění z jedné strany rovnice na druhou.

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

• Základní rovnice s jednou proměnnou: zadání
• Základní rovnice s jednou proměnnou: řešení

Lineární funkci můžeme vždy zapsat ve tvaru f(x)= a \cdot x + b, kde a a b jsou konstanty. Číslo a je směrnice (též nazývaná sklon), konstanta b je absolutní člen. Grafem lineární funkce je přímka, kterou snadno sestrojíme pomocí dvou bodů.

Přímku, která je grafem funkce f(x)=a\cdot x+b můžeme sestrojit také pomocí konstant a a b, přičemž platí:

• Absolutní člen b udává „svislý posun“. Je to průsečík přímky s osou y. V uvedených příkladech je vyznačen oranžovou barvou.
• Směrnice a udává sklon přímky, což můžeme vyjádřit jako „o kolik jednotek na ose y se po dané přímce posuneme, když se posuneme o jednu jednotku na ose x“. V uvedených příkladech je směrnice vyznačena žlutou barvou.

Důležitá jsou znamínka (naznačená v obrázcích šipkami). Kladný absolutní člen znamená posun nahoru, záporný absolutní člen znamená posun dolů. Kladná směrnice znamená stoupající přímku, záporná směrnice znamená klesající přímku.

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

• Grafy lineárních funkcí: zadání
• Grafy lineárních funkcí: řešení