Vlastnosti lineární lomené funkce
Rozhodovačka
Váš denní počet odpovědí je omezen. Pro navýšení limitu či přístup do svého účtu s licencí se přihlaste.
Přihlásit se
Vlastnosti lineární lomené funkce
Lineární lomená funkce f:y =\frac{ax+b}{cx+d} má definiční obor D(f)=\R - \{-\frac{d}{c}\}, což můžeme také zapsat jako sjednocení dvou intervalů: D(f)=(-\infty, -\frac{d}{c}) \cup (-\frac{d}{c}, \infty)
Pokud c\neq0 a bc-ad\neq0, pak pro lineární lomenou funkci platí:
- je prostá
- není periodická
- nemá maximum ani minimum
- není shora ani zdola omezená
Další vlastnosti závisí na hodnotách koeficientů a, b, c, d:
- pro bc-ad \gt 0 je lineární lomená funkce klesající na intervalu (-\infty, -\frac{d}{c}) a také klesající na intervalu (-\frac{d}{c}, \infty)
- pro bc-ad \lt 0 je lineární lomená funkce rostoucí na intervalu (-\infty, -\frac{d}{c}) a také je rostoucí na intervalu (-\frac{d}{c}, \infty)
- pro a=0 a d=0 má lineární lomená funkce tvar: f:y =\frac{b}{cx} a je to lichá funkce (f(x) = - f(-x))
Příklad: vlastnosti funkce f:y =\frac{3x+1}{4x+2}
- Definiční obor D(f)=\R - \{-\frac{1}{2}\}.
- Funkce je prostá.
- Funkce je rostoucí na intervalu (-\infty,-\frac{1}{2}) a také je rostoucí na intervalu (-\frac{1}{2},\infty) – snadno poznáme z grafu, ale zároveň můžeme ověřit splnění podmínky bc-ad \lt 0: pro danou funkci bc-ad=1\cdot4-3\cdot2=-2.
Příklad: vlastnosti funkce f:y =\frac{3}{2x}
- Definiční obor D(f)=\R - \{0\}.
- Funkce je prostá.
- Funkce je klesající na intervalu (-\infty,0) a také je klesající na intervalu (0,\infty).
- Funkce je lichá – graf je souměrný podle počátku (pro lineární lomené funkce, kde a=0 a d=0).
Poznámka: omezenost lineární lomené funkce
- Definiční obor lineární lomené funkce tvoří vždy dva intervaly.
- Pokud si budeme všímat vlastností funkce jen na jednom z těchto intervalů, jedná se o funkci omezenou zdola nebo shora. Například funkce na obrázku f:y =\frac{2x+3}{x+1}:
- Definiční obor D(f)=\R - \{-1\}, tedy intervaly (-\infty;-1) a (-1;\infty).
- Na intervalu (-\infty;-1) je funkce shora omezená a na intervalu (-1;\infty) zdola omezená.
Vlastnosti lineární lomené funkce (střední)
Nyní se mohou opakovat už vyřešená zadání.
