Posloupnosti a řady

Aritmetická a geometrická posloupnost jsou posloupnosti čísel, jejichž členy – čísla a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots se dají všechny odvodit z prvního členu podle jednoduchých pravidel zahrnujících sčítání (aritmetická posloupnost), resp. násobení (geometrická posloupnost).

Aritmetická posloupnost

V aritmetické posloupnosti je stálý rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy. Tento rozdíl se obvykle značí d a nazývá diference.

• rekurentní vzorec: a_n = a_{n-1} + d
• vzorec pro n-tý člen: a_n = a_1+ (n-1)\cdot d

Geometrická posloupnost

V geometrické posloupnosti je stálý poměr mezi dvěma po sobě jdoucími členy. Jejich podíl se obvykle značí q a nazývá kvocient.

• rekurentní vzorec: a_n = q \cdot a_{n-1}
• vzorec pro n-tý člen: a_n = q^{n-1}\cdot a_1

Posloupnost je sada objektů, ve kterých závisí na pořadí a objekty se mohou opakovat. Posloupnost může být konečná i nekonečná. Členy posloupnosti typicky zapisujeme pomocí indexů: a_n značí n-tý člen posloupnosti a.

Posloupnosti můžeme zapsat různými způsoby:

• výčtem členů: a = (7, 10, 13, 16, 19, 22)
• vzorcem pro n-tý člen: a_n = 4 + 3\cdot n
• rekurentně (začátek posloupnosti a způsob výpočtu dalších členů z předchozích): a_1 = 7, a_n = a_{n-1} + 3

Příklady:

• 8, 18, 28, 38, 48, 58, … (aritmetická posloupnost s počáteční hodnotou 8 a diferencí 10)
• 3, 6, 12, 24, 48, 96, … (geometrická posloupnost s počáteční hodnotou 3 a kvocientem 2)
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … (Fibonacciho posloupnost, a_n = a_{n-1} + a_{n-2})
• 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, … (periodická posloupnost)

Existuje celá řada zajímavých posloupností. Mají dokonce svoji vlastní encyklopedii.