Výpis souhrnů
Posloupnosti a řady
Podtémata
Aritmetická a geometrická posloupnost
Aritmetická a geometrická posloupnost jsou posloupnosti čísel, jejichž členy – čísla a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots se dají všechny odvodit z prvního členu podle jednoduchých pravidel zahrnujících sčítání (aritmetická posloupnost), resp. násobení (geometrická posloupnost).
Aritmetická posloupnost
V aritmetické posloupnosti je stálý rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy. Tento rozdíl se obvykle značí d a nazývá diference.
- rekurentní vzorec: a_n = a_{n-1} + d
- vzorec pro n-tý člen: a_n = a_1+ (n-1)\cdot d
Příklady aritmetických posloupností
| posloupnost | a_1 | d |
| 1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots | 1 | 2 |
| 20, 17, 14, 11, 8, \ldots | 20 | -3 |
| 300, 305, 310, 315, 320, \ldots | 300 | 5 |
Geometrická posloupnost
V geometrické posloupnosti je stálý poměr mezi dvěma po sobě jdoucími členy. Jejich podíl se obvykle značí q a nazývá kvocient.
- rekurentní vzorec: a_n = q \cdot a_{n-1}
- vzorec pro n-tý člen: a_n = q^{n-1}\cdot a_1
Příklady geometrických posloupností
| posloupnost | a_1 | q |
| 1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots | 1 | 2 |
| 1000, 100, 10, 1, 0{,}1, 0{,}01, \ldots | 1000 | 0{,}1 |
| 5, 15, 45, 135, 405, \ldots | 5 | 3 |
| 8, -8, 8, -8, 8, -8, \ldots | 8 | -1 |
Zápis posloupností
Posloupnost je sada objektů, ve kterých závisí na pořadí a objekty se mohou opakovat. Posloupnost může být konečná i nekonečná. Členy posloupnosti typicky zapisujeme pomocí indexů: a_n značí n-tý člen posloupnosti a.
Posloupnosti můžeme zapsat různými způsoby:
- výčtem členů: a = (7, 10, 13, 16, 19, 22)
- vzorcem pro n-tý člen: a_n = 4 + 3\cdot n
- rekurentně (začátek posloupnosti a způsob výpočtu dalších členů z předchozích): a_1 = 7, a_n = a_{n-1} + 3
Příklady:
- 8, 18, 28, 38, 48, 58, … (aritmetická posloupnost s počáteční hodnotou 8 a diferencí 10)
- 3, 6, 12, 24, 48, 96, … (geometrická posloupnost s počáteční hodnotou 3 a kvocientem 2)
- 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … (Fibonacciho posloupnost, a_n = a_{n-1} + a_{n-2})
- 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, … (periodická posloupnost)
Existuje celá řada zajímavých posloupností. Mají dokonce svoji vlastní encyklopedii.
Nahoru
