Posloupnosti a řady

Aritmetická posloupnost je matematická posloupnost, ve které je stálý rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy. Tento rozdíl se obvykle značí d a nazývá diference.

• rekurentní vzorec: a_n = a_{n-1} + d
• vzorec pro n-tý člen: a_n = a_1+ (n-1)\cdot d
• příklady:
  • 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... (a_1=1, d=2)
  • 20, 17, 14, 11, 8, ... (a_1=20, d=-3)
  • 300, 305, 310, 315, 320, ... (a_1=300, d=5)

Geometrická posloupnost je matematická posloupnost, ve které je stálý poměr mezi dvěma po sobě jdoucími členy. Tento podíl se obvykle značí q a nazývá kvocient.

• rekurentní vzorec: a_n = q \cdot a_{n-1}
• vzorec pro n-tý člen: a_n = q^{n-1}\cdot a_1
• příklady:
  • 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (a_1=1, q=2)
  • 1000, 100, 10, 1, 0{,}1, 0{,}01, ... (a_1=1000, q=0,1)
  • 5, 15, 45, 135, 405, ... (a_1=5, q=3)
  • 8, -8, 8, -8, 8, -8, ... (a_1=8, q=-1)

Posloupnost je sada objektů, ve kterých závisí na pořadí a objekty se mohou opakovat. Posloupnost může být konečná i nekonečná. Členy posloupnosti typicky zapisujeme pomocí indexů: a_n značí n-tý člen posloupnosti a.

Posloupnosti můžeme zapsat různými způsoby:

• výčtem členů: a = (7, 10, 13, 16, 19, 22)
• vzorcem pro n-tý člen: a_n = 4 + 3\cdot n
• rekurentně (začátek posloupnosti a způsob výpočtu dalších členů z předchozích): a_1 = 7, a_n = a_{n-1} + 3

Příklady:

• 8, 18, 28, 38, 48, 58, … (aritmetická posloupnost s počáteční hodnotou 8 a diferencí 10)
• 3, 6, 12, 24, 48, 96, … (geometrická posloupnost s počáteční hodnotou 3 a kvocientem 2)
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … (Fibonacciho posloupnost, a_n = a_{n-1} + a_{n-2})
• 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, … (periodická posloupnost)

Existuje celá řada zajímavých posloupností. Mají dokonce svoji vlastní encyklopedii.