Výpis shrnutí
Mocninné funkce
Podtémata
Mocninné funkce
Funkce je mocninná, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru y= x^k, kde k je konstanta. Definiční obor i vlastnosti funkce jsou dány hodnotou konstanty k.
Mezi nejčastější typy mocninných funkcí (pro koeficient n\in \N) patří:
- y= x^n … například: y= x^2, y= x^3
- y= x^{-n} … například: y=x^{-2} (můžeme psát také ve tvaru: y= \frac{1}{x^2})
- y= x^{\frac{1}{n}} … například: y= x^{\frac{1}{3}} (můžeme psát také ve tvaru: y= \sqrt [3]{x})
Vlastnosti mocninných funkcí
Základní mocninné funkce jsou v některém ze tvarů y= x^n, y= x^{-n}, y = x^{\frac{1}{n}}, pro nějaké přirozené číslo n. Vlastnosti těchto mocninných funkcí závisí na tom, zda je n sudé nebo liché.
Vlastnosti mocninných funkcí tvaru y= x^n
vlastnosti y= x^n pro sudé n:
- D(f)=\mathbb{R}, je sudá, není prostá
- H(f)=\langle0, \infty), je zdola omezená, má minimum
vlastnosti y= x^n pro liché n:
- D(f)=\mathbb{R}, je lichá
- H(f)=\mathbb{R}, není omezená, nemá maximum ani minimum
- je rostoucí, je prostá
Příklad – vlastnosti funkcí y =x^2 a y =x^3
Vlastnosti funkce y =x^2:
- definiční obor D(f)=\R
- obor hodnot H(f)=\langle0, \infty)
- je sudá
- není prostá
- je zdola omezená
- má minimum v bodě [0;0]
- je klesající na intervalu (-\infty, 0\rangle a rostoucí na intervalu \langle0, \infty)
Vlastnosti funkce y =x^3:
- definiční obor D(f)=\R
- obor hodnot H(f)=\R
- je lichá
- je prostá
- je rostoucí
- není omezená
- nemá maximum ani minimum
Vlastnosti mocninných funkcí tvaru y= x^{-n}
vlastnosti y= x^{-n} pro sudé n:
- D(f)=\R - \{0\}, je sudá, není prostá
- H(f)=(0, \infty), je zdola omezená
- nemá maximum ani minimum
vlastnosti y= x^{-n} pro liché n:
- D(f)=\R - \{0\}, je lichá
- H(f)=\R - \{0\}, není omezená, nemá maximum ani minimum
- je klesající, je prostá
Příklad – vlastnosti funkcí y =x^{-2} a y =x^{-3}
Vlastnosti funkce y =x^{-2} (můžeme psát také ve tvaru: y= \frac{1}{x^2}):
- definiční obor D(f)=\R - \{0\}
- obor hodnot H(f)=(0, \infty)
- je sudá
- není prostá
- je zdola omezená
- nemá minimum ani maximum
- je rostoucí na intervalu (-\infty, 0) a klesající na intervalu (0, \infty)
Vlastnosti funkce y =x^{-3} (můžeme psát také ve tvaru: y= \frac{1}{x^3}):
- definiční obor D(f)=\R - \{0\}
- obor hodnot H(f)=\R - \{0\}
- je lichá
- je prostá
- je klesající
- není omezená
- nemá maximum ani minimum
Vlastnosti mocninných funkcí tvaru y= x^{\frac{1}{n}}
vlastnosti y=x^{\frac{1}{n}} pro sudé n:
- D(f)=\langle0, \infty), není ani sudá ani lichá
- H(f)=\langle0, \infty), je zdola omezená, má minimum
- je rostoucí, je prostá
vlastnosti y=x^{\frac{1}{n}} pro liché n:
- D(f)=\R, je lichá
- H(f)=\R, není omezená, nemá maximum ani minimum
- je rostoucí, je prostá
Příklad – vlastnosti funkcí y=x^{\frac{1}{2}} a y=x^{\frac{1}{3}}
Vlastnosti funkce y=x^{\frac{1}{2}} (můžeme psát také ve tvaru: y= \sqrt{x}):
- definiční obor D(f)=\langle0, \infty)
- obor hodnot H(f)=\langle0, \infty)
- není sudá ani lichá
- je prostá
- je zdola omezená
- má minimum v bodě [0;0]
- je rostoucí
Vlastnosti funkce y=x^{\frac{1}{3}} (můžeme psát také ve tvaru: y= \sqrt[3]{x}):
- definiční obor D(f)=\R
- obor hodnot H(f)=\R
- je lichá
- je prostá
- není omezená
- nemá maximum ani minimum
- je rostoucí
Úpravou funkčního předpisu se vlastnosti mocninné funkce mohou změnit, jak ukazuje následující příklad.
Příklad – vlastnosti funkce y=(x+3)^{\frac{1}{2}}-2
Funkční předpis y=(x+3)^{\frac{1}{2}}-2 můžeme upravit: y= \sqrt{x+3}-2. Graf y= \sqrt{x+3}-2 vznikne z grafu funkce y= \sqrt{x} posunutím ve směru osy x i osy y.
- definiční obor D(f)=\langle-3, \infty) (výraz pod odmocninou musí být nezáporný, tedy musí platit: x+3\geq0, po úpravě: x\geq-3)
- obor hodnot H(f)=\langle-2, \infty) (obor hodnot funkce odmocnina je H(f)=\langle0, \infty), odečtením hodnoty 2 se funkční hodnoty zmenší o 2)
- není sudá ani lichá
- je prostá
- je zdola omezená
- má minimum v bodě [-3;-2]
- je rostoucí
Grafy mocninných funkcí
Grafy základních mocninných funkcí y= x^n
pro n sudé – graf je souměrný podle osy y, D(f)=\R, H(f)=\langle0, \infty)
pro n liché – graf je souměrný podle počátku, D(f)=\R, H(f)=\R
Grafy mocninných funkcí se záporným exponentem y= x^{-n}
pro n sudé – graf souměrný podle osy y, D(f)=\R- \{0\}, H(f)=\langle0, \infty)
pro n liché – graf souměrný podle počátku, D(f)=\R - \{0\}, H(f)=\R - \{0\}
Grafy funkcí y= x^{\frac{1}{n}}:
pro sudé n – funkce y= x^{\frac{1}{n}} definována na kladných číslech, D(f)=\langle0, \infty), H(f)=\langle0, \infty)
pro liché n – funkce y=x^n je prostá, proto bychom mohli definovat n-tou odmocninu i pro záporná čísla, ale často se (např. jako příprava pro práci s mocninnými funkcemi s obecnějšími racionálními exponenty) všechny n-té odmocniny pro sudá i lichá n definují pro jednoduchost jen na intervalu [0,\infty).
Poznámka: výpočty s mocninami a odmocninami
Při výpočtech s mocninami a odmocninami musíme být obezřetní, hodně pravidel platí pro nezáporný základ (pokud počítáme s odmocninami), případně kladný základ (nulu můžeme odmocňovat, ale nesmíme dělit nulou). Příklady:
součin odmocnin je odmocnina součinu: pro nezáporná čísla jako základy odmocnin pravidlo platí, pokud bychom chtěli použít pro záporný základ, nemusí nám v oboru reálných čísel vycházet smysluplné věci: \sqrt{-2} není definovaná, ale \sqrt{(-2)\cdot(-2)} je \sqrt{4} = 2
racionální exponenty: mělo by x^{\frac{2}{6}} být totéž jako x^{\frac{1}{3}}? Exponent je „stejné racionální číslo“, ale pro záporná x by vycházely u těchto dvou předpisů jiné funkční hodnoty (6. odmocnina ze záporného x není definovaná, 6. odmocnina z druhé mocniny záporného čísla je kladná, a 3. odmocnina z x by pro záporná x byla záporná).
racionální exponenty konkrétněji: čemu by se mělo rovnat (-8)^{\frac{2}{6}}? Máme (-8)^{\frac{1}{3}}=-2, ale zároveň \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2. Můžeme se dostat do potíží, když budeme pravidla, která platí pro mocniny a odmocniny kladných a nezáporných čísel, zkoušet používat i pro záporné základy.
Vliv úprav funkčního předpisu na graf mocninné funkce
Obrázek ukazuje několik úprav funkce y= x^3:
| y= (x+2)^3 | graf je posunutý ve směru osy x |
| y=x^3-2 | graf je posunutý ve směru osy y |
| y=\frac{1}{4} x^3 | graf bude natažený nebo smrštěný ve směru osy y (v uvedeném grafu se funkční hodnoty zmenší na čtvrtinu, například pro x=2 je hodnota funkce y=\frac{1}{4} \cdot 2^3=2) |
