Vlastnosti mocninných funkcí
Rozhodovačka
Vlastnosti mocninných funkcí
Základní mocninné funkce jsou v některém ze tvarů y= x^n, y= x^{-n}, y = x^{\frac{1}{n}}, pro nějaké přirozené číslo n. Vlastnosti těchto mocninných funkcí závisí na tom, zda je n sudé nebo liché.
Vlastnosti mocninných funkcí tvaru y= x^n
vlastnosti y= x^n pro sudé n:
- D(f)=\mathbb{R}, je sudá, není prostá
- H(f)=\langle0, \infty), je zdola omezená, má minimum
vlastnosti y= x^n pro liché n:
- D(f)=\mathbb{R}, je lichá
- H(f)=\mathbb{R}, není omezená, nemá maximum ani minimum
- je rostoucí, je prostá
Příklad – vlastnosti funkcí y =x^2 a y =x^3
Vlastnosti funkce y =x^2:
- definiční obor D(f)=\R
- obor hodnot H(f)=\langle0, \infty)
- je sudá
- není prostá
- je zdola omezená
- má minimum v bodě [0;0]
- je klesající na intervalu (-\infty, 0\rangle a rostoucí na intervalu \langle0, \infty)
Vlastnosti funkce y =x^3:
- definiční obor D(f)=\R
- obor hodnot H(f)=\R
- je lichá
- je prostá
- je rostoucí
- není omezená
- nemá maximum ani minimum
Vlastnosti mocninných funkcí tvaru y= x^{-n}
vlastnosti y= x^{-n} pro sudé n:
- D(f)=\R - \{0\}, je sudá, není prostá
- H(f)=(0, \infty), je zdola omezená
- nemá maximum ani minimum
vlastnosti y= x^{-n} pro liché n:
- D(f)=\R - \{0\}, je lichá
- H(f)=\R - \{0\}, není omezená, nemá maximum ani minimum
- je klesající, je prostá
Příklad – vlastnosti funkcí y =x^{-2} a y =x^{-3}
Vlastnosti funkce y =x^{-2} (můžeme psát také ve tvaru: y= \frac{1}{x^2}):
- definiční obor D(f)=\R - \{0\}
- obor hodnot H(f)=(0, \infty)
- je sudá
- není prostá
- je zdola omezená
- nemá minimum ani maximum
- je rostoucí na intervalu (-\infty, 0) a klesající na intervalu (0, \infty)
Vlastnosti funkce y =x^{-3} (můžeme psát také ve tvaru: y= \frac{1}{x^3}):
- definiční obor D(f)=\R - \{0\}
- obor hodnot H(f)=\R - \{0\}
- je lichá
- je prostá
- je klesající
- není omezená
- nemá maximum ani minimum
Vlastnosti mocninných funkcí tvaru y= x^{\frac{1}{n}}
vlastnosti y=x^{\frac{1}{n}} pro sudé n:
- D(f)=\langle0, \infty), není ani sudá ani lichá
- H(f)=\langle0, \infty), je zdola omezená, má minimum
- je rostoucí, je prostá
vlastnosti y=x^{\frac{1}{n}} pro liché n:
- D(f)=\R, je lichá
- H(f)=\R, není omezená, nemá maximum ani minimum
- je rostoucí, je prostá
Příklad – vlastnosti funkcí y=x^{\frac{1}{2}} a y=x^{\frac{1}{3}}
Vlastnosti funkce y=x^{\frac{1}{2}} (můžeme psát také ve tvaru: y= \sqrt{x}):
- definiční obor D(f)=\langle0, \infty)
- obor hodnot H(f)=\langle0, \infty)
- není sudá ani lichá
- je prostá
- je zdola omezená
- má minimum v bodě [0;0]
- je rostoucí
Vlastnosti funkce y=x^{\frac{1}{3}} (můžeme psát také ve tvaru: y= \sqrt[3]{x}):
- definiční obor D(f)=\R
- obor hodnot H(f)=\R
- je lichá
- je prostá
- není omezená
- nemá maximum ani minimum
- je rostoucí
Úpravou funkčního předpisu se vlastnosti mocninné funkce mohou změnit, jak ukazuje následující příklad.
Příklad – vlastnosti funkce y=(x+3)^{\frac{1}{2}}-2
Funkční předpis y=(x+3)^{\frac{1}{2}}-2 můžeme upravit: y= \sqrt{x+3}-2. Graf y= \sqrt{x+3}-2 vznikne z grafu funkce y= \sqrt{x} posunutím ve směru osy x i osy y.
- definiční obor D(f)=\langle-3, \infty) … výraz pod odmocninou musí nezáporný, tedy musí platit: x+3\geq0, po úpravě: x\geq-3
- obor hodnot H(f)=\langle-2, \infty) … obor hodnot funkce odmocnina je H(f)=\langle0, \infty), odečtením hodnoty 2 se funkční hodnoty zmenší o 2
- není sudá ani lichá
- je prostá
- je zdola omezená
- má minimum v bodě [-3;-2]
- je rostoucí
Vlastnosti mocninných funkcí (střední)
Nyní se mohou opakovat už vyřešená zadání.
