Kružnice: středová rovnice (střední)

QR kód

Stáhnout Na celou obrazovku

Kód / krátká adresa

Zkopírujte kliknutím. Zkopírováno!

GNP

umime.to/GNP

Kružnice (kuželosečka)

Kružnice je množina všech bodů v rovině, které mají od daného pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Bod S nazýváme střed kružnice, hodnotu r nazveme poloměr kružnice.

Středová rovnice kružnice

Středová rovnice kružnice o středu S[m;n] a poloměru r je ve tvaru: (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2

Příklad: Určete středovou rovnici kružnice se středem v bodě S[-1;2] a poloměrem r=3.

Středová rovnice je ve tvaru: (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2
Dosadíme souřadnice středu a poloměr. Při dosazení si dáme pozor na to, že souřadnice středu ve středové rovnici odečítáme: (x-(-1))^2 +(y-2)^2=3^2
Po úpravě: (x+1)^2 +(y-2)^2=9

Obecná rovnice kružnice

Podobně jako existuje několik tvarů rovnic přímky, můžeme i rovnici kružnice zapsat různými způsoby. Obecná rovnice kružnice je ve tvaru: x^2 +y^2-2mx-2ny+p=1.

Každá rovice v tomto tvaru ale nemusí ještě být obecnou rovnicí kružnice. Pro obecnou rovnici kružnice musí platit, že výraz m^2+n^2-p je kladný. Praktické ověření, zda se jedná o kružnici, ale obvykle provádíme převedením na středovou rovnici kružnice.

Příklad: Najděte střed a poloměr kružnice dané obecnou rovnicí x^2+y^2+4x+6y-12=0.

Nejprve si uspořádáme členy podle proměnných: x^2+4x+y^2-6y-12=0.
Našim dalším cílem je upravit výraz na levé straně jako součet dvou druhých mocnin (čtverců), podle vzorečků a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2.
K oběma stranám rovnice přičteme konstanty 4 a 9, abychom součty členů s proměnnými x a y mohli upravit na druhé mocniny (provedeme v obou případech doplnění na čtverec): x^2+4x+4+y^2-6y+9-12=4+9
A upravíme: (x+2)^2 +(y-3)^2-12=13
Na závěr ještě převedeme -12 na druhou stranu rovnice: (x+2)^2 +(y-3)^2=25
Tímto jsme převedli obecnou rovnici kružnice na středovou rovnici kružnice.
Poloměr kružnice je r=\sqrt{25}=5.
Souřadnice středu S[m,n] odčítáme ve středové rovnici od proměnných x a y, mají tedy opačná znaménka než konstanty v závorkách ve středové rovnici \Rightarrow S[-2;3].

Kružnice a přímka

přímka s protíná kružnici ve dvou bodech – sečna kružnice
přímka t protíná kružnici v jednom bodě – tečna kružnice
přímka v kružnici neprotíná – vnější přímka kružnice

Rovnice tečny kružnice v bodě, který leží na kružnici

Kružnice daná rovnicí (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2 má v bodě T[x_0;y_0] tečnu (x_0-m)(x-m) +(y_0-n)(y-n)=r^2.

Jak si zapamatovat rovnici tečny

Středová rovnice je ve tvaru (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2.
Závorky rozložíme na součiny dvoučlenů (x-m)(x-m) +(y-n)(y-n)=r^2.
V každém součinu zaměníme jedno x za x_0 a jedno y za y_0
Dostaneme rovnici tečny (x_0-m)(x-m) +(y_0-n)(y-n)=r^2

Příklad: Určete rovnici tečny kružnice (x-1)^2+(y+2)^2=13 v jejím bodě T[3;1].

Ověříme, zda bod T leží na kružnici: (3-1)^2+(1+2)^2=13 \Rightarrow 4+9=13
Tečna má rovnici (x_0-m)(x-m) +(y_0-n)(y-n)=r^2
Dosadíme souřadnice bodu T: (3-1)(x-1) +(1+2)(y+2)=13
Roznásobíme závorky: 2x-2 +3y+6=13
A dostaneme obecnou rovnici tečny 2x+3y-9=0

Polára kružnice

Z bodu R mimo kružnici můžeme sestrojit dvě tečny k dané kružnici. Přímka určená body dotyku tečen se nazývá polára kružnice vzhledem k bodu R.

Rovnice poláry kružnice kružnice (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2 vzhledem k bodu R[r_1;r_2] je (r_1-m)(x-m) +(r_2-n)(y-n)=r^2.

K čemu poláru použijeme?

Poláru využíváme ke konstrukci tečen ležících z bodu mimo kružnici.
Podle vzorce určíme rovnici poláry, tedy přímky.
Najdeme průsečíky poláry a kružnice – to jsou body dotyku hledaných tečen.
Když známe body dotyku, určíme podle vztahu pro rovnici tečny v bodě kružnice obecné rovnice obou tečen.

Zavřít