Mnohočleny: pojmy
Označování
Mnohočleny: pojmy
Pojmy mnohočleny a polynomy znamenají totéž – algebraické výrazy s jednou nebo více proměnnými, které lze zapsat jako součet jednotlivých členů (jednočlenů), tj. součinů mocnin proměnných vynásobených čísly (koeficienty).
Znak násobení \cdot mezi koeficientem a jednočlenem obvykle vynecháváme, takže například kvadratický člen (s exponentem 2 u proměnné, tj. x^2) a koeficientem 20 20\cdot x^2 zapisujeme jako: 20x^2
Jednočleny a jejich stupně
Příklady jednočlenů s jednou proměnnou:
| 2x | stupeň 1 (proměnná x je v první mocnině, tzv. lineární člen) | koeficient 2 |
| 5 | stupeň 0 (proměnná x je v nulté mocnině x^0 = 1, tzv. konstantní člen) | koeficient 5 |
| -3 x^2 | stupeň 2 (proměnná x je ve druhé mocnině, tzv. kvadratický člen) | koeficient -3 |
| x^{100} | stupeň 100 (proměnná x je ve sté mocnině) | koeficient 1 |
| 50 x^3 | stupeň 3 (proměnná x je ve třetí mocnině, tzv. kubický člen) | koeficient 50 |
| 2 \pi r^2 | stupeň 2 (proměnná r je ve druhé mocnině, tzv. kvadratický člen) | koeficient 2 \pi |
Příklady jednočlenů s více proměnnými:
| xy | stupeň 2 (proměnná x je v první mocnině, proměnná y také, celkem 1+1=2, tzv. kvadratický člen) | koeficient 1 |
| -x^2yz | stupeň 4 (proměnná x je ve druhé mocnině, proměnná y je v první mocnině, proměnná z je v první mocnině, celkem 2+1+1=4) | koeficient -1 |
| 6 a^2b^2 | stupeň 4 (proměnná a je ve druhé mocnině, proměnná b také, celkem 2+2=4) | koeficient 6 |
| 10 | stupeň 0 (žádná proměnná se nevyskytuje ve vyšší než nulté mocnině, tzv. konstantní člen) | koeficient 10 |
| 50 xyz | stupeň 3 (proměnná x je v první mocnině, proměnné y, z také, celkem 1+1+1=3, tzv. kubický člen) | koeficient 50 |
Mnohočleny s jednou proměnnou
Mnohočlen s jednou proměnnou (např. x) se dá upravit do následujícího tvaru – uspořádat členy podle stupně proměnné od největšího exponentu po nejmenší a posčítat členy se stejným stupněm:
a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0
Koeficienty a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0 jsou pro naše účely reálná čísla. Exponenty označují, kolikáté mocniny proměnné se v mnohočlenu vyskytují, tj. jde o čísla n, n-1, \ldots, 1, 0. Stupeň mnohočlenu je nejvyšší ze stupňů jeho jednočlenů, které mají nenulové koeficienty.
Příklad kvadratického mnohočlenu
x^2 -6x + 3
- Jde o mnohočlen stupně 2 (kvadratický mnohočlen).
- Exponenty u jednotlivých členů jsou postupně 2, 1, 0 (jsou zastoupeny mocniny proměnné x^2, x^1, x^0).
- Mnohočlen má kvadratický člen x^2 (s koeficientem 1).
- Mnohočlen má lineární člen -6x (s koeficientem -6).
- Mnohočlen má konstantní člen 3 (koeficient je 3, je vynásobený nultou mocninou proměnné x^0=1, tedy jedničkou).
Příklad lineárního mnohočlenu
10x - 4
- Jde o mnohočlen stupně 1 (lineární mnohočlen).
- Exponenty u jednotlivých členů jsou postupně 1, 0 (jsou zastoupeny mocniny proměnné x^1, x^0).
- Mnohočlen nemá žádný kvadratický člen (ani členy ještě vyšších stupňů).
- Mnohočlen má lineární člen 10x (s koeficientem 10).
- Mnohočlen má konstantní člen -4 (koeficient je -4, je vynásobený nultou mocninou proměnné x^0=1).
Příklad mnohočlenu stupně 5
x^5 + x^4 -2x -1
- Jde o mnohočlen stupně 2 (kvadratický mnohočlen).
- Exponenty u jednotlivých členů jsou postupně 2, 1, 0 (jsou zastoupeny mocniny proměnné x^2, x^1, x^0).
- Mnohočlen má kvadratický člen x^2 (s koeficientem 1).
- Mnohočlen má lineární člen -6x (s koeficientem -6).
- Mnohočlen má konstantní člen 3 (koeficient je 3, nultá mocnina x je rovna 1).
Mnohočleny s více proměnnými
Mnohočlen s více než jednou proměnnou se také dá upravit do tvaru, kdy jsou členy uspořádané podle stupně. Můžeme ale posčítat jen takové členy, které mají u každé proměnné stejný exponent. Například při úpravě mnohočlenu se dvěma proměnnými x, y: xy + x^2 + 7xy Člen xy můžeme sečíst se členem 7xy, ale nemůžeme sečíst člen xy se členem x^2. Upravený mnohočlen: 8xy + x^2
Příklad mnohočlenu stupně 3 se 2 proměnnými
-6xy^2 + xy + 5x^2 + 7
- Mnohočlen má jeden člen stupně 3: -6xy^2 s koeficientem -6 (stupeň členu je součet exponentů u proměnných 1+2=3, jde o kubický člen).
- Mnohočlen má dva členy stupně 2: člen xy s koeficientem 1 a člen 5x^2 s koeficientem 5.
- Mnohočlen nemá žádné lineární členy.
- Mnohočlen má konstantní člen 7 (člen stupně 0).
Příklad kvadratického mnohočlenu se 4 proměnnými
15a^2 + 8ab - 4 bc + 20d - 9
- Mnohočlen má celkově stupeň 2 (největší stupeň mají tři kvadratické členy 15a^2, 8ab, -4bc).
- Mnohočlen má jeden lineární člen 20d s koeficientem 20.
- Mnohočlen má konstantní člen -9.
Mnohočleny: pojmy (střední)
Nyní se mohou opakovat už vyřešená zadání.
