Přejít na cvičení:
Krok po kroku
Přejít na téma:
Vzdálenost bodu od přímky
Zobrazit na celou obrazovku
Procvičujte neomezeně

Váš denní počet odpovědí je omezen. Pro navýšení limitu či přístup do svého účtu s licencí se přihlaste.

Přihlásit se
Zobrazit shrnutí tématu
FMF
Sdílet

QR kód

QR kód lze naskenovat např. mobilním telefonem a tak se dostat přímo k danému cvičení nebo sadě příkladů.

Kód / krátká adresa

Tříznakový kód lze napsat do vyhledávacího řádku, také je součástí zkrácené adresy.

Zkopírujte kliknutím.

FMF
umime.to/FMF

umime.to/FMF

Vzdálenost bodu od přímky

Vzdálenost bodu od přímky je délka nejkratší úsečky určené bodem M a bodem ležícím na přímce p. Jak je vidět z obrázku tato nejkratší úsečka leží na kolmici z bodu M k přímce p. Vzdálenost bodu od přímky tedy můžeme určit takto:

  1. najdeme přímku k, která prochází bodem M a je kolmá k přímce p
  2. určíme průsečík P přímky k s přímkou p
  3. vzdálenost bodu M od přímky p je délka úsečky PM

Příklad: vzdálenost bodu od přímky – pomocí kolmice

Určete vzdálenost bodu M=[5;2] od přímky p:4x+3y-1=0.

  • Přímka k, která prochází bodem M a je kolmá k přímce p má směrový vektor kolineární s normálovým vektorem přímky p.
  • Souřadnice směrového vektoru přímky k jsou: \vec{u}=(4;3).
  • Přímka k má parametrické vyjádření: p:X=M+t\vec{u}
  • p:\begin{array}{rrl}x&=&5+4t\\y&=&2+3t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}
  • Souřadnice průsečíku P přímky k s přímkou p určíme dosazením parametrického vyjádření přímky k do obecné rovnice přímky p.

\begin{array}{rrl}4(5+4t)+3(2+3t)-1&=&0\\20+16t+6+9t-1&=&0\\25+25t&=&0\Rightarrow t=-1\end{array}

  • Průsečík přímek k a p je bod P=[1;-1].
  • Vzdálenost bodu M od přímky p je délka úsečky PM:
  • Vzorec pro délku úsečky: d=\sqrt{(x_M-x_P)^2+(y_M-y_P)^2}
  • Dosadíme souřadnice bodů M,P: d=\sqrt{(5-1)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{16+9}=5

Vzorec pro vzdálenost bodu od přímky dané obecnou rovnicí

Vzdálenost bodu M=[m_1;m_2] od přímky p dané obecnou rovnicí ax+by+c=0 je dána vzorcem: d=\frac{\left| am_1+bm_2+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Příklad: vzdálenost bodu od přímky – pomocí vzorce

Určete vzdálenost bodu M=[5;2] od přímky p:4x+3y-1=0 s využitím vzorce.

  • Dosadíme do vzorce d=\frac{\left| am_1+bm_2+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}} souřadnice bodu M=[5;2] a koeficienty a a b z obecné rovnice přímky.
  • Obecná rovnice pro p je 4x+3y-1=0, tedy a=4 a b=3.
  • Máme: d=\frac{\left| 4\cdot5+3\cdot2-1\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{25}{\sqrt{25}}=5

Vzdálenost dvou rovnoběžek

Umíme-li určit vzdálenost bodu od přímky, snadno určíme také vzdálenost dvou rovnoběžek. Stačí si uvědomit, že všechny body ležící na jedné přímce mají od druhé přímky stejnou vzdálenost. Proto je vzdálenost rovnoběžek stejná jako vzdálenost libovolného bodu na jedné přímce od přímky druhé.

Příklad: vzdálenost rovnoběžek

Určete vzdálenost rovnoběžek p:2x-4y+3=0 a q:x-2y+1=0.

  • Určíme souřadnice jednoho bodu (M) na přímce q tak, že jednu souřadnici zvolíme a druhou dopočítáme.
  • Zvolíme například souřadnici y=0, pak x-2\cdot0+1=0\Rightarrow x=-1
  • Dosadíme do vzorce d=\frac{\left| am_1+bm_2+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}} souřadnice bodu M=[-1;0] a koeficienty a a b z obecné rovnice přímky p.
  • Obecná rovnice pro p je 2x-4y+3=0, tedy a=2 a b=-4.
  • Máme: d=\frac{\left| 2\cdot(-1)-4\cdot0+3\right|}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}=\frac{1}{\sqrt{20}}
  • Vzdálenost rovnoběžek p a q je: d=\frac{1}{\sqrt{20}}
Zavřít

Vzdálenost bodu od přímky (těžké)

Vyřešeno:



NAPIŠTE NÁM

Děkujeme za vaši zprávu, byla úspěšně odeslána.

Napište nám

Nevíte si rady?

Nejprve se prosím podívejte na časté dotazy:

Čeho se zpráva týká?

Vzkaz Obsah Ovládání Přihlášení Licence