Elementární algebra

Algebraický výraz je tvořen z konstant („čísla“) a proměnných („písmenka“), které jsou dohromady spojeny pomocí algebraických operací (např. sčítání, násobení) a závorek. Proměnná zastupuje čísla z určitého oboru hodnot. Pomocí algebraických výrazů můžeme provádět obecné výpočty.

Příklad:

• Sedlák Sedloň má na dvorku p prasat a s slepic.
• Výraz 4\cdot p + 2 \cdot s vyjadřuje celkový počet nohou, která zvířata na dvorku mají.
• V tomto výrazu jsou čísla 4 a 2 konstanty, písmena p a s jsou proměnné, jejichž oborem jsou přirozená čísla.
• Výraz můžeme upravit do tvaru 2(2p+s). Tato úprava zachovává hodnotu výrazu pro všechna možná přiřazení hodnot proměnných.

Rovnice s neznámou x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde L(x), P(x) jsou výrazy s proměnnou x. L(x) je levá strana rovnice, P(x) je pravá strana rovnice. Řešit rovnici znamená najít všechny hodnoty proměnné x, pro které výrazy L(x) a P(x) nabývají stejné hodnoty. Tato čísla nazýváme kořeny rovnice. Výpočet hodnot L(x) a P(x) pro konkrétní x se nazývá zkouška.

Příklad: uvažme rovnici 2x-7 = 5-4x.

Rovnice dělíme podle typu výrazů, které se v nich objevují. Například:

• lineární rovnice obsahují pouze konstanty a násobky proměnné x, příkladem je 7- 2x = -1,

• kvadratické rovnice obsahují i druhou mocninu x, příkladem je x^2+x-2=0,

• logaritmické rovnice obsahují \log(x), příkladem je \log_2(1-x)=16,

• exponenciální rovnice obsahují umocňování, ve kterém je proměnná x v exponentu, příkladem je 3^x -3 = 6,

• goniometrické rovnice obsahují goniometrické funkce, příkladem je \sin(2x) = 1.

Rovnice řešíme ekvivalentními úpravami, což jsou úpravy, které nemění množinu kořenů rovnice. Mezi takové úpravy patří například:

• výměna levé a pravé strany rovnice,

• přičtení nebo odečtení stejného výrazu k oběma stranám rovnice,

• vynásobení nebo vydělení obou stran rovnice nenulovým číslem.