Přehled všech témat

Sčítání pod sebou

Čísla si napíšeme pod sebe, zarovnaná doprava. Postupujeme z pravé strany. Vždy sečteme dvě čísla pod sebou a výsledek zapíšeme pod ně. Pokud je výsledek větší než 10, zapisujeme pouze číslo na pozici jednotek. Číslo na pozici desítek přičteme v dalším sloupci.

Malá násobilka

Dělení se zbytkem

Zbytek po dělení je početní operace související s celočíselným dělením. Pokud dělíme vzorec, pak můžeme psát vzorec, přičemž vzorec. Číslo vzorec nazýváme podíl, číslo vzorec zbytek. Operace dělení se zbytkem se v matematice nazývá též modulo.

Příklad: vzorec dává podíl vzorec a zbytek vzorec, protože vzorec. Pokud mám 14 jablek a rozdělím je spravědlivě mezi 4 děti, každé dítě dostane 3 jablka a ještě mi 2 zbydou.

Pořadí operací, závorky

Výrazy vyhodnocujeme v tomto pořadí:

1. závorky,
2. násobení a dělení,
3. sčítání a odčítání.

Mocniny

Mocniny jsou zkráceným zápisem opakujícího se násobení. Příklady:

• vzorec
• vzorec
• vzorec

Základní pravidla pro počítání s mocninami:

• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec

Odmocniny

Odmocňování v matematice je částečně inverzní operací k umocňování. Druhá odmocnina z čísla vzorec je takové číslo vzorec, pro které platí vzorec. Druhou odmocninu značíme vzorec. Obecně pak vzorec-tá odmocnina z vzorec je takové číslo vzorec, pro které platí vzorec, vzorec-tou odmocninu značíme vzorec.

Pro odmocniny platí následující vztahy (předpokládáme vzorec):

• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec

Záporné mocniny

Mocnina se záporným exponentem odpovídá převrácené hodnotě příslušné mocniny s kladným exponentem. Tedy vzorec. Toto pravidlo je důsledkem vlastnosti násobení vzorec. Musí tedy platit vzorec.

Konkrétní příklady:

• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec

Zlomky

Zlomky zapisujeme ve tvaru a/b, kde a se nazývá čitatel a b jmenovatel. Aby měl zlomek smysl, nesmí být jmenovatel nula. Pomocí zlomku lze vyjádřit libovolné racionální číslo.

Hodnota zlomku se nemění rozšiřováním a krácením (nenulovým číslem c). Rozšíření číslem c: vzorec. Krácení číslem c: vzorec.

Díky rozšiřování a krácení můžeme stejnou hodnotu zapsat nekonečně mnoha různými zlomky. Zlomek a/b je v základním tvaru, pokud jsou čísla a, b nesoudělná.

Krácení zlomků

Krácení zlomků se též nazývá převod na „základní tvar“. Najdeme největšího společného dělitele čitatele i jmenovatele. Tímto číslem následně čitatele i jmenovatele podělíme.

Smíšená čísla

Pokud je jmenovatel větší než čitatel (zlomek je menší než jedna) označuje se zlomek jako pravý. Nepravé zlomky (tedy ty, které jsou větší jak jedna) můžeme zapsat pomocí smíšeného čísla. Smíšené číslo vzorec je zápis součtu vzorec, kde vzorec je kladný zlomek menší než jedna. Příklady:

• vzorec
• vzorec

Sčítání a odčítání zlomků

Pokud mají sčítané zlomky stejného jmenovatele, stačí prostě sečíst čitatele a jmenovatele necháme stejného.

vzorec

Pokud mají sčítané zlomky různého jmenovatele, musíme je nejprve rozšířit tak, aby měly stejného jmenovatele, kterým bude (nejmenší) společný násobek původních jmenovatelů. Jakmile mají zlomky stejného jmenovatele, sečteme je výše uvedeným postupem.

Výsledný zlomek pokrátíme. Odčítání zlomků funguje stejným způsobem.

Násobení a dělení zlomků

Při násobení dvou zlomků prostě vynásobíme čitatele prvního zlomku a čitatele druhého zlomku a dostaneme výsledný čitatel, podobně pro jmenovatele:

vzorec

Pokud si chceme ušetřit násobení velkých čísel, můžeme zlomky krátit, a to i „do kříže“.

Dělení zlomků je to stejné jako násobení převráceným zlomkem:

vzorec

Procenta

Procento (%) je bezrozměrná jednotka vyjadřující jednu setinu celku. Například zápis „42 %“ (42 procent) je to stejné jako zlomek 42/100 nebo desetinné číslo 0,42.

Desetinná čísla

Desetinné číslo je způsob zápisu čísla pomocí celé části a desetinné části, která je oddělená desetinnou čárkou. Na prvním místě za desetinnou čárkou jsou desetiny, na druhém setiny, na třetím tisíciny a tak dále. Například číslo 1,3 značí „jedna celá a tři desetiny“, číslo 3,25 značí „tři celé a dvacet pět setin“.

Osová souměrnost

Osová souměrnost je dána přímkou vzorec a přiřazuje každému bodu vzorec mimo osu takový bod vzorec, že přímka vzorec je osou úsečky vzorec. Jinými slovy: obraz má od osy stejnou vzdálenost jako původní bod a spojnice bodů je kolmá na osu.

Osová souměrnost zachovává vzdálenosti i úhly, jde tedy o druh shodnosti.

Útvar označujeme za osově souměrný, pokud je v nějaké osové souměrnosti obrazem sebe sama. Osu této souměrnosti pak nazýváme osou útvaru.

Příklady:

• Úsečka je osově souměrná a má v rovině jedinou osu souměrnosti (kolmici v jejím středu).
• Rovnoramenný trojúhelník je osově souměrný.
• Trojúhelník, který není rovnoramenný, není osově souměrný.
• Všechny pravidelné mnohoúhelníky jsou osově souměrné. Počet os souměrnosti je roven počtu vrcholů mnohoúhelníku.
• Kruh je osově souměrný a má nekonečně mnoho os souměrnosti.

Středová souměrnost

Středová souměrnost je dána bodem vzorec a přiřazuje každému bodu vzorec takový bod vzorec, že bod vzorec je středem úsečky vzorec. Jinými slovy: obraz má od středu stejnou vzdálenost jako původní bod a leží na polopřímce opačné k vzorec.

Středová souměrnost zachovává vzdálenosti i úhly, jde tedy o druh shodnosti. Středová souměrnost se středem v bodě vzorec je shodná s otočením o 180 stupňů podle středu vzorec.

Útvar označujeme za středově souměrný, pokud je v nějaké středové souměrnosti obrazem sebe sama. Střed této středové souměrnosti pak nazýváme středem souměrnosti objektu.

Příklady:

• Úsečka, obdélník, čtverec, kosočtverec, pravidelný šestiúhelník a kruh jsou středově souměrné.
• Žádný trojúhelník není středově souměrný.

Pythagorova věta

Pythagorova věta popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlého trojúhelníku. Věta zní: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad oběma jeho odvěsnami. Pythagorovu větu můžeme zapsat vztahem vzorec, kde vzorec označuje délku přepony pravoúhlého trojúhelníka a délky odvěsen jsou vzorec, vzorec.

Pythagorova věta umožňuje dopočítat délku třetí strany pravoúhlého trojúhelníka, u kterého známe délky dvou zbývajících stran. Pythagorova věta má v geometrii velice široké využití, protože mnoho složitějších útvarů můžeme rozližit na pravoúhlé trojúhleníky.

Lomené výrazy

Lomený výraz má tvar zlomku, v jehož jmenovateli je mnohočlen (výraz s proměnnou). Příkladem lomeného výrazu je vzorec. S lomenými výrazy počítáme podobně jako se zlomky.

U lomených výrazů je potřeba brát v potaz podmínky, za kterých má smysl. Lomený výraz má smysl pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je výraz ve jmenovateli různý od nuly.

Rovnice

Rovnice s neznámou vzorec je zápis ve tvaru vzorec, kde vzorec jsou výrazy s proměnnou vzorec. vzorec je levá strana rovnice, vzorec je pravá strana rovnice. Řešit rovnici znamená najít všechny hodnoty proměnné vzorec, pro které výrazy vzorec a vzorec nabývají stejné hodnoty. Tato čísla nazýváme kořeny rovnice. Výpočet hodnot vzorec a vzorec pro konkrétní vzorec se nazývá zkouška.

Příklad: uvažme rovnici vzorec.

• levá strana vzorec
• pravá strana vzorec
• kořen (řešení) rovnice je vzorec
• zkouška:
  • vzorec
  • vzorec

Rovnice dělíme podle typu výrazů, které se v nich objevují. Například:

• lineární rovnice obsahují pouze konstanty a násobky proměnné vzorec, příkladem je vzorec,
• kvadratické rovnice obsahují i druhou mocninu vzorec, příkladem je vzorec,
• logaritmické rovnice obsahují vzorec, příkladem je vzorec,
• exponenciální rovnice obsahují umocňování, ve kterém je proměnná vzorec v exponentu, příkladem je vzorec,
• goniometrické rovnice obsahují goniometrické funkce, příkladem je vzorec.

Rovnice řešíme ekvivalentními úpravami, což jsou úpravy, které nemění množinu kořenů rovnice. Mezi takové úpravy patří například:

• výměna levé a pravé strany rovnice,
• přičtení nebo odečtení stejného výrazu k oběma stranám rovnice,
• vynásobení nebo vydělení obou stran rovnice nenulovým číslem.

Jednokrokové rovnice

Nejjednodušší rovnice jako vzorec nebo vzorec vedou na jednokrokové řešení, tj. stačí provést jednu úpravu rovnice (např. odečtení čísla 2 od obou stran rovnice v prvním případě). Tyto rovnice lze vesměs řešit snadno i intutitivní úvahou (pro jaké číslo platí, že když k němu přičtu dvojku, dostanu pětku?). Slouží tak jako dobrý výchozí bod pro seznámení s tématem rovnic.

Základní rovnice s jednou neznámou

Nejjednodušší rovnice obsahují pouze lineární výrazy, tj. vyskytují se v nich pouze konstanty a násobky proměnné vzorec. Rovnici upravujeme pomocí ekvivaletních úprav: přičítání a odčítání stejného výrazu k oběma stranám rovnice, úpravy výrazů na levé a pravé straně. Pomocí takových úprav ji převedeme do tvaru vzorec, kde vzorec je řešení.

Příklad: rovnici vzorec můžeme řešit těmito kroky:

• K oběma stranám rovnice přičteme vzorec:
• vzorec
• vzorec
• K oběma stranám rovnice přičteme vzorec:
• vzorec
• vzorec
• Obě strany rovnice vydělíme číslem vzorec:
• vzorec
• vzorec
• Řešení rovnice je vzorec

Může se stát, že rovnice nemá žádné řešení (např. vzorec), nebo že řešením rovnice je libovolné číslo (např. vzorec). V ostatních případech mají lineární rovnice právě jedno řešení.

Mezi časté chyby při řešení rovnic patří:

• provední úpravy (přičtení čísla, vydělení čísel) pouze na jedné straně rovnice,
• chybné zkombinování konstant a výrazů s proměnnou vzorec, např. úprava vzorec na vzorec,
• špatné znaménko u výrazu při převádění z jedné strany rovnice na druhou.

Rovnice se závorkami

Rovnice se závorkami můžeme řešit stejným způsobem jako základní rovnice, pouze jako první krok odstraníme závorky. Například: rovnici vzorec můžeme řešit takto:

• vzorec
• Roznásobíme závorku na levé straně:
• vzorec
• Následně řešíme stejně jako základní rovnici:
• vzorec
• vzorec
• vzorec

V některých případech si však můžeme ušetřit práci, pokud závorky neroznásobíme. Například v rovnici vzorec je výhodnější nejdříve rovnici podělit číslem 3, čímž dostaneme vzorec, z čehož již snadno dostaneme vzorec.

Rovnice s neznámou ve jmenovateli

Pokud rovnice obsahuje zlomek, ve kterém se vyskytuje neznámá ve jmenovateli, musíme rovnici nejdříve vynásobit jmenovatelem (případně nejmenším společným násobkem všech jmenovatelů). Tím rovnici převedeme na základní rovnici, kterou řešíme běžným postupem.

Příklad:

• Rovnice vzorec
• Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem vzorec:
• vzorec
• Dále řešíme běžnými úpravami:
• vzorec
• vzorec

Rovnice se zlomky

Rovnice se zlomky řešíme stejnými postupy jako základní rovnice. Užitečným (avšak ne vždy nezbytným) prvním krokem bývá roznásobení obou stran rovnice společným násobkem všech jmenovatelů zlomků.

Příklad:

• vzorec
• Jmenovatelé ve zlomcích jsou 2 a 3, společný násobek je 6. Roznásobíme tedy rovnici číslem 6:
• vzorec
• vzorec

Rovnice s lomenými výrazy

Rovnice se lomenými výrazy řešíme stejnými postupy jako základní rovnice. Užitečným (avšak ne vždy nezbytným) prvním krokem bývá roznásobení obou stran rovnice společným násobkem všech jmenovatelů lomených výrazů.

Příklad:

• vzorec
• Jmenovatelé jsou vzorec a vzorec, společný násobek je vzorec. Roznásobíme tedy rovnici vzorec:
• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec

Dvě rovnice o dvou neznámých

Soustava dvou rovnic o dvou neznámých je podobná jako základní rovnice, jen máme místo jedné proměnné vzorec navíc i proměnnou vzorec a rovnice jsou dvě. Podobně jako rovnic o jedné proměnné můžeme mít celou řadu různých typů, i dvě rovnice o dvou neznámých mohou být lineární, kvadratické, logaritmické a jiné. Většinou se však procvičují pouze základní lineární rovnice. Pokud totiž dobře zvládneme jejich řešení, můžeme naučené postupy použít i na složitější rovnice. Základní metody řešení soustavy dvou rovnic jsou dosazovací metoda a sčítací metoda.

Příklad soustavy dvou rovnic o dvou neznámých:

vzorec

vzorec

Při řešení dosazovací metodou vyjádříme z jedné rovnice jednu neznámou pomocí druhé. Toto vyjádření pak dosadíme do druhé rovnice, čímž dostaneme obyčejnou jednu rovnici o jedné neznámé. Ukázka postupu na uvedeném příkladě:

• Z první rovnice vyjádříme vzorec:
• vzorec
• Dosadíme do druhé rovnice a najdeme řešení pro vzorec:
• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec
• Nalezenou hodnotu dosadíme do výrazu pro vzorec:
• vzorec

Při řešení sčítací metodou sečteme (či odečteme) odděleně levé a pravé strany obou rovnic. Tato úprava vede k cíli, pokud nám při této operaci jedna z proměnných vypadne. V některých případech je proto nutné nejdříve jednu z rovnic vynásobit vhodným číslem. V případě naší ukázkové soustavy stačí rovnice prostě sečíst. Tím dostaneme vzorec, odtud vzorec a dosazením pak již dopočítáme vzorec.

Kvadratické rovnice

Kvadratická rovnice je rovnice, ve které se vyskytuje jedna neznámá ve druhé mocnině. Základní tvar kvadratické rovnice je: vzorec, kde vzorec, vzorec, vzorec jsou reálná čísla a vzorec.

• Pokud je vzorec nazýváme rovnici ryze kvadratickou: vzorec.
• Pokud je vzorec mluvíme o rovnici bez absolutního členu: vzorec.

Každou kvadratickou rovnici lze řešit pomocí výpočtu diskriminantu vzorec. Pro něj platí: vzorec. Mohou nastat 3 situace:

• vzorec: rovnice nemá v vzorec řešení.
• vzorec: rovnice má jeden dvojnásobný kořen.
• vzorec: rovnice má dva různé reálné kořeny.

Pro kořeny rovnice platí:

• vzorec
• vzorec

Pomocí Vietových vzorců můžeme řešit kvadratické rovnice bez počítání diskriminantu. Pro kořeny rovnice platí:

• vzorec
• vzorec

V případě vzorec:

• vzorec
• vzorec

Lineární funkce

Funkce vzorec je lineární, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru vzorec, kde vzorec a vzorec jsou konstanty. Grafem lineární funkce je přímka. Parametr vzorec je směrnice, parametr vzorec určuje její svislý posun. Pro vzorec je funkce rostoucí, pro vzorec je funkce klesající. Definiční obor lineární funkce je celá množina reálných čísel.

Jednotky délky

Zkratky jednotek délky:

• m = metr
• dm = decimetr
• cm = centimetr
• mm = milimetr
• km = kilometr

Převody:

• 1 m = 10 dm
• 1 m = 100 cm
• 1 m = 1000 mm
• 1 km = 1000 m
• 1 cm = 10 mm

Jednotky hmotnosti

Zkratky jednotek hmotnosti:

• g = gram
• kg = kilogram
• dkg = dekagram
• t = tuna

Převody:

• 1 t = 1000 kg
• 1 kg = 1000 g
• 1 dkg = 10 g

Jednotky obsahu

Jednotky obsahu a jejich převody:

• mm² = milimetr čtvereční
• cm² = centimetr čtvereční
• m² = metr čtvereční
• km² = kilometr čtvereční
• ar = plocha čtverce o straně 10 m, tj. 100 m²
• ha = hektar, plocha čtverce o straně 100 m, tj. 10 000 m²
• 1 ha = 0,01 km² = 100 arů = 10 000 m²
• 1 ar = 0,01 ha = 100 m²
• 1 km² = 10 000 00 m² = 100 ha = 10 000 arů
• 1 m² = 10 000 cm²

Jednotky objemu

Jednotky objemu a jejich převody:

• mm³ = milimetr krychlový
• cm³ = centimetr krychlový
• dm³ = decimetr krychlový
• m³ = metr krychlový
• l = litr
• hl = hektolitr
• dl = decilitr
• ml = mililitr
• 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³ = 1 000 000 000 mm³
• 1 l = 1 dm³ = 1 000 cm³
• 1 ml = 1 cm³
• 1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml
• 1 hl = 100 l