Přehled všech témat
Aritmetika | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Čísla | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Počítání do 20 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Číselná osa do 20 | Více Číselná osa do 20Číselná osa znázorňuje čísla. Čísla jsou na ní vyznačena značkami. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme. Číselnou osu si můžeme představit jako procházku. Začínáme na startu, kterým je číslo nula, a každý krok vede na novou značku s novým číslem. Jednoduchý příklad číselné osy, na které hledáme číslo 7: ![]() Počítání do 100 | Porovnávání čísel do 100 | Čísla slovně | Zaokrouhlování na desítky a stovky | Více | Zaokrouhlování na desítky a stovkyZaokrouhlování znamená, že vezmeme číslo a nahradíme jej za jiné, které má přibližně stejnou velikost, ale je „jednodušší“. Například číslo 96 můžeme zaokrouhlit na číslo 100. Zaokrouhlování nám umožňuje například provádět přibližné výpočty nebo snadněji komunikovat. Zaokrouhlování na desítky znamená, že číslo nahradíme nejbližším násobkem desítky. Například k číslu 37 je nejbližší násobek desítky číslo 40 (má vzdálenost 3). U čísel, která končí cifrou 5, není takto definované zaokrouhlování jednoznačné, například číslo 35 má stejnou vzdálenost od čísel 30 a 40. Pro tyto případy je zavedeno pravidlo, které říká, že zaokrouhlujeme nahoru, tj. číslo 35 zaokrouhlujeme na 40. Zaokrouhlování na stovky funguje stejně, jen nahrazujeme číslo nejbližším násobkem stovky. Příklady:
Zaokrouhlování velkých čísel | Sčítání a odčítání: základy | Sčítání a odčítání do 10 | Sčítání a odčítání do 20 | Sčítání a odčítání: základy mix | Sčítání a odčítání víceciferné | Sčítání a odčítání od 20 do 100 | Sčítání a odčítání nad 100 | Sčítání pod sebou | Více | Sčítání pod sebouPři písemném sčítání postupujeme následovně:
Příklad 3728+436:
![]() Odčítání pod sebou | Více | Odčítání pod sebouPři písemném odčítání postupujeme následovně:
Příklad 3728-436:
![]() Sčítání a odčítání víceciferné: mix | Násobení a dělení | Malá násobilka | Více | Malá násobilkaNásobení nám říká, kolik čtverečků má čokoláda, když víme, kolik má řádků a sloupců: ![]() Násobení využíváme v matematice i v běžném životě velice často. Proto se velmi vyplatí naučit se základní násobky zpaměti. Malá násobilka zahrnuje vzájemné součiny čísel od 1 do 10. Ty můžeme přehledně vyjádřit tabulkou malé násobilky: ![]() Násobení víceciferné | Písemné násobení pod sebou | Více | Písemné násobení pod sebouPři písemném násobení postupujeme následovně:
Obrázek ukazuje příklad násobení čísel 79 a 68. ![]() Dělení jednociferné | Více | Dělení jednocifernéKdyž mám 8 jablíček a chci je rozdělit rovnoměrně do 4 košíků, kolik jablíček bude v každém košíku? Této otázce v matematice odpovídá dělení: ![]() Dělení se zbytkem | Více | Dělení se zbytkemZbytek po dělení je početní operace související s celočíselným dělením. Pokud dělíme a:b, pak můžeme psát a = k\cdot b + z, přičemž 0 \leq z < b. Číslo k nazýváme podíl, číslo z zbytek. Operace dělení se zbytkem se v matematice nazývá též modulo. Příklad: 11:4 dává podíl 2 a zbytek 3, protože 11 = 2\cdot 4 + 3. Pokud mám 11 jablek a rozdělím je rovnoměrně do 4 košíků, v každém košíku budou 2 jablka a ještě mi 3 zbydou. ![]() Další příklady:
Dělení víceciferné | Písemné dělení jednociferným číslem | Písemné dělení dvouciferným číslem | Násobení a dělení: mix | Počítání: kombinace operací | Sčítání a odčítání se závorkami | Pořadí operací, závorky | Více | Pořadí operací, závorkyVýrazy vyhodnocujeme v tomto pořadí:
Příklady:
Přibližné počítání | Kombinace operací: mix | Kladná a záporná čísla | Porovnávání kladných a záporných čísel | Číselná osa: kladná a záporná čísla | Více | Číselná osa: kladná a záporná číslaČíselná osa je přímka znázorňující čísla. Značkami jsou na ní vyznačená vybraná čísla – většinou celá čísla. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme. Tradičně se na číselné ose píší menší čísla vlevo, větší čísla vpravo. Záporná čísla jsou tedy vlevo od nuly. Příklad číselné osy s vyznačenými hodnotami 7 a -7: ![]() Počítání se zápornými čísly | Více | Počítání se zápornými číslyPři počítání se zápornými čísly často používáme princip „mínus a mínus dává plus“. Konkrétní příklady:
Výrazy s absolutní hodnotou | Více | Výrazy s absolutní hodnotouAbsolutní hodnota čísla je jeho vzdálenost od nuly. Absolutní hodnotu čísla x značíme pomocí svislých čar: |x|. Pro kladné x je |x|=x, pro záporné x je |x| = -x. Příklady:
Při vyhodnocování výrazů, ve kterých se vyskytuje absolutní hodnota, nejdříve vyhodnotíme výraz uvnitř svislých čar (podobně jako u závorek) a pak aplikujeme samotnou absolutní hodnotu:
Dáváme pozor na rozdíl mezi kulatou závorkou (která pouze vyznačuje přednost operací) a svislými čárami (které značí absolutní hodnotu):
Také dáváme dobrý pozor, kde se vyskytují znamínka mínus (před versus za svislou čárou):
Kladná a záporná čísla: mix | Dělitelnost | Sudé, liché | Více | Sudé, lichéSudá čísla jsou celá čísla, která jsou beze zbytku dělitelná dvěma. Sudá čísla končí cifrou 0, 2, 4, 6 nebo 8. Příklady sudých čísel jsou 138, 12, 0, 9356, -34, 6. Lichá čísla jsou celá čísla, která po dělení dvěma dávají zbytek jedna. Lichá čísla končí cifrou 1, 3, 5, 7 nebo 9. Příklady lichých čísel jsou 15, 891, -7, 1, 95. Podmínky dělitelnosti | Více | Podmínky dělitelnostiČíslo a je dělitelné nenulovým celým číslem b právě tehdy, když a je celočíselným násobkem b, tj. a = k\cdot b. Jinými slovy: číslo a dává po dělení číslem b zbytek 0. Příklady:
Pro některé dělitele můžeme dělitelnost rozpoznat poměrně snadno:
Prvočísla | Více | PrvočíslaPrvočíslo je přirozené číslo větší než 1, které je dělitelné pouze jedničkou a sebou samým. Složené číslo je přirozená čísla větší než 1, které není prvočíslem, tj. má i jiného dělitele než jedničku a sebe samého. Příklady:
Podle výše uvedené definice není číslo 1 prvočíslo ani složené číslo. To je běžná matematická konvence, protože to vede k elegantnější formulaci různých matematických výsledků. Existují ale i jiné přístupy k pojetí prvočíselnosti jedničky (vesměs historické). Prvočísel je nekonečně mnoho. Prvočísla menší než 100 jsou: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Každé číslo lze rozložit jednoznačně na prvočíselný součin, např.
Největší společný dělitel | Více | Největší společný dělitelNejvětší společný dělitel (NSD) dvou celých čísel je největší číslo, které beze zbytku dělí obě čísla. Příklady: NSD(18, 24) = 6, NSD(12, 21) = 3, NSD(24, 35) = 1. Pojem největšího společného dělitele lze zobecnit i na větší počet vstupních čísel. Například NSD(30, 85, 90) = 5. Typickým využitím největšího společného dělitele je krácení zlomků. Pokud největší společný dělitel dvou čísel je 1, nazýváme je nesoudělná. Například čísla 15 a 32 jsou nesoudělná. Pro malá čísla můžeme největšího společného dělitele určit tak, že si prostě vypíšeme všechny dělitele. Pokud hledáme NSD(18, 24) postupujeme takto:
Pro větší čísla můžeme největšího společného dělitele určit pomocí prvočíselného rozkladu. Obě čísla rozepíšeme jako součin prvočísel, výsledný NSD je součin prvočísel vyskytujících se v obou rozkladech umocněných na příslušné nejmenší exponenty.
Pro praktické výpočty se používají jiné algoritmy, především Euklidův algoritmus. Nejmenší společný násobek | Více | Nejmenší společný násobekNejmenší společný násobek (NSN) dvou celých čísel je nejmenší číslo, které je beze zbytku dělitelné oběma čísly. Příklady: NSN(12, 15) = 60, NSN(6, 8) = 24, NSN(3, 15) = 15. Pojem nejmenšího společného násobku lze zobecnit i na větší počet vstupních čísel. Například NSN(2, 3, 4) = 12. Typické využití nejmenšího společného násobku je při převodu zlomků na společného jmenovatele při sčítání zlomků. Pro malá čísla můžeme nejmenší společný násobek najít tak, že si vypíšeme několik prvních násobků od obou čísel. Pokud hledáme NSN(12, 15), postupujeme takto:
Pro větší čísla můžeme nejmenší společný násobek nalézt pomocí prvočíselného rozkladu. NSN je roven součinu všech prvočísel, které se vyskytují alespoň v jednom rozkladu (v nejvyšší mocnině, v jaké se vyskytují). Příklad \mathit{NSN}(24, 45):
Nejmenší společný násobek lze vypočítat také pomocí největšího společného dělitele (NSD): \mathit{NSN}(a, b) = \frac{a\cdot b}{\mathit{NSD}(a, b)} Dělitelnost: mix | Mocniny a odmocniny | Mocniny | Více | MocninyMocniny jsou zkráceným zápisem opakujícího se násobení. Příklady:
Při umocňování záporných čísel je výsledek kladný pro sudé mocniny, záporný pro liché mocniny.
Nultá mocnina jakéhokoliv čísla je 1 (např. 5^0=1, 564^0=1). Nula umocněna na libovolné číslo je 0 (např. 0^3 = 0\cdot 0\cdot 0 = 0). Což vede na zajímavou otázku: Čemu se rovná 0^0? Odmocniny | Více | OdmocninyOdmocňování v matematice je částečně inverzní (opačnou) operací k umocňování. Druhá odmocnina z čísla x je takové nezáporné číslo a, pro které platí a^2 = x. Druhou odmocninu značíme \sqrt{x}. Příklady:
Obecně pak n-tá odmocnina z x je takové číslo a, pro které platí a^n = x, n-tou odmocninu značíme \sqrt[n]{x}. Příklady:
Odmocňování má i geometrický význam. Pokud máme čtverec o obsahu S, pak tento čtverec má délku strany rovnou druhé odmocnině \sqrt{S}. Pokud máme krychli o objemu V, pak tato krychle má délku hranu rovnou třetí odmocnině \sqrt[3]{V}. Odmocniny hojně využijeme například při aplikaci Pythagorovy věty. Graf funkce odmocnina![]() Odmocnina a záporná číslaKdyž hledáme odmocninu třeba z 25, tak hledáme číslo, které po umocnění dá 25. To splňuje 5\cdot 5, ale také (-5)\cdot (-5). Odmocnina je však definována jako nezáporné číslo, takže \sqrt{25} = 5. Druhou odmocninu můžeme počítat pouze z kladných čísel, protože jakékoliv číslo umocněné na druhou je kladné. Odmocnina ze záporných čísel není definována. Nebo vlastně je, ale to musíme zavést komplexní čísla (což je velice zajímavý a užitečný nástroj, ale trochu pokročilý a ten tu nebudeme rozebírat). Pro běžná reálná čísla můžeme počítat odmocniny za záporných čísel pro liché stupně n. Například:
Výrazy s mocninami a odmocninami | Více | Výrazy s mocninami a odmocninamiPro mocniny platí následující vztahy:
Konkrétní příklady, která názorně ilustrují, proč uvedené vztahy platí:
Pro odmocniny platí následující vztahy (předpokládáme x, y > 0):
Příklady:
Záporné mocniny | Více | Záporné mocninyMocnina se záporným exponentem odpovídá převrácené hodnotě příslušné mocniny s kladným exponentem. Tedy vzorec. Toto pravidlo je důsledkem vlastnosti násobení vzorec. Musí tedy platit vzorec. Konkrétní příklady:
Vědecký zápis čísel | Více | Vědecký zápis číselVědecký zápis čísel je zápis čísel pomocí součinu m\cdot 10^n, kde m je reálné číslo (mantisa) a 10^n je mocnina desítky. Tento zápis čísel je užitečný zejména při práci s velmi velkými nebo velmi malými čísly. Například hmotnost Země je přibližně 5970000000000000000000000 kg, což je daleko přehlednější v zápisu 5{,}97\cdot 10^{24} kg. Příklady:
Mocniny a odmocniny: mix | Desetinná čísla, mocniny, odmocniny | Zlomky, mocniny, odmocniny | Více | Zlomky, mocniny, odmocninyPři umocňování (odmocňování) zlomku prostě umocníme (odmocníme) čitatele i jmenovatele:
Umocňování na zlomek odpovídá tomu, že vezmeme mocninu podle čitatele a odmocninu podle jmenovatele, tj. x^\frac{a}{b} = \sqrt[b]{a^x}. Příklady:
Logaritmus | Více | LogaritmusLogaritmus je inverzní operace k umocňování. Logaritmus kladného čísla x při základu a je takové reálné číslo y = \log_a(x), pro které platí a^y = x. Číslo a se nazývá základ logaritmu (báze). Logaritmus o základu e=2{,}71828182... (Eulerovo číslo) se nazývá přirozený logaritmus a značí se většinou \ln. Logaritmus o základu 10 se nazývá dekadický logaritmus (a někdy se značí \mathit{lg}). Logaritmy mají velmi široké využití v mnoha oblastech matematiky. Historicky se využívali jako užitečná početní pomůcka („logaritmické pravítko“), která využívala faktu, že logaritmus součinu je součet logaritmů. Dnes na logaritmy často narazíme například v informatice při návrhu a analýze algoritmů. Vlastnosti logaritmů:
Graf logaritmu o základu 2: ![]() Logaritmus: výpočet | Více | Logaritmus: výpočetLogaritmus kladného čísla x při základu a je takové reálné číslo y = \log_a(x), pro které platí a^y = x. Příklady:
Výrazy s logaritmy | Více | Výrazy s logaritmyNěkteré základní vlastnosti logaritmů vyjádřené pomocí vzorců:
Grafy exponenciálních a logaritmických funkcí | Logaritmické rovnice | Více | Logaritmické rovniceLogaritmická rovnice je taková, kde neznámá vystupuje jako argument logaritmické funkce, např. 2 \cdot \log_6(x-2) = \log_6(14-x). U logaritmických rovnic musíme dávat pozor na podmínky na řešení. Argument každého logaritmu totiž musí být vždy kladné číslo. V uvedeném příkladě tedy musí platit x-2>0 a současně 14-x > 0. Logaritmické rovnice řešíme za využití vlastností logaritmické funkce a jejího vztahu k exponenciální funkci. Dílčí způsoby, jak řešit logaritmické rovnice:
Číselné soustavy | Římské číslice | Více | Římské čísliceŘímské číslice představují způsob zápisu čísel pomocí písmen latinské abecedy. Na rozdíl od běžně používaného zápisu čísel (arabské číslice, desítková soustava) jde o nepoziční číselnou soustavu. Římské číslice nejsou vhodné pro matematické výpočty, například násobení v tomto zápisu je výrazně náročnější než v desítkové soustavě. Římské číslice se však stále používají, například pro uvádění letopočtů na památnících, na hodinách, pro číslování kapitol v knihách, ... Základní římské číslice jsou I, V, X, L, C, D, M. Jejich hodnoty jsou následující:
Další čísla vytváříme spojováním a opakováním symbolů. Symboly řadíme za sebe podle velikosti. Pro zkrácení zápisu se využívá odčítání v případě, že menší symbol předchází větší. Příklady:
Binární čísla | Více | Binární číslaPro základní představu u binárních číslech můžeme použít pomůcku, kterou máme vždy po ruce – totiž ruku samotnou. Představme si, že si na prsty ruky napíšeme mocniny dvojky: ![]() Pak můžeme na prstech jedné ruky počítat nejen do pěti, ale až do třiceti jedné. Každé číslo lze totiž vyjádřit (jednoznačně) jako součet mocnin dvojky. Pokud polohu prstů zaznačíme pomocí nul a jedniček, dostaneme zápis v binární soustavě:
Číselná osa | Více | Číselná osaČíselná osa je přímka znázorňující čísla. Značkami jsou na ní vyznačená vybraná čísla – většinou celá čísla. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme. Jednoduchý příklad číselné osy, na které hledáme číslo 7: ![]() Na základní číselné ose mají značky rozestup jedna. To však zdaleka neplatí vždy. Kdykoliv pracujeme s číselnou osou, musíme si nejdříve ujasnit, jaký je rozestup mezi značkami. To určíme na základě popisků. V následujícím příkladě je rozestup 10: ![]() Číselná osa: kladná a záporná čísla | Více | Číselná osa: kladná a záporná číslaČíselná osa je přímka znázorňující čísla. Značkami jsou na ní vyznačená vybraná čísla – většinou celá čísla. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme. Tradičně se na číselné ose píší menší čísla vlevo, větší čísla vpravo. Záporná čísla jsou tedy vlevo od nuly. Příklad číselné osy s vyznačenými hodnotami 7 a -7: ![]() Zlomky na číselné ose | Více | Zlomky na číselné oseZlomek můžeme na číselnou osu umístit tak, že ho převedeme na desetinné číslo (podělíme prostě čitatele jmenovatelem) a pak postupujeme stejně jako u desetinných čísel. Například \frac{6}{5} = 1{,}2, tj. zlomek \frac{6}{5} leží dvě desetiny za jedničkou. Další příklady: ![]() Zlomky menší než 1 můžeme umisťovat na číselnou osu také přímo (bez převodu na desetinné číslo) díky představě „část z celku“. Pokud máme umístit zlomek \frac{3}{7}, představíme si, jak bychom rozdělili úsečku od 0 po 1 na sedm stejných dílků. Zlomek \frac{3}{7} pak umístíme na třetí pozici. Hodí se vybudovat si dobrou představu zejména pro zlomky s malým jmenovatelem: ![]() Číselná osa do 20 | Více | Číselná osa do 20Číselná osa znázorňuje čísla. Čísla jsou na ní vyznačena značkami. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme. Číselnou osu si můžeme představit jako procházku. Začínáme na startu, kterým je číslo nula, a každý krok vede na novou značku s novým číslem. Jednoduchý příklad číselné osy, na které hledáme číslo 7: ![]() Desetinná čísla na číselné ose | Více | Desetinná čísla na číselné osePodobně jako na jiných číselných osách, první krok je určit, jaké jsou rozestupy mezi značkami na číselné ose. Při práci s desetinnými čísly bývá často rozestup 0,1 (jedna desetina), ale nemusí to tak být nutně. Příklad: ![]() |
Zlomky, procenta, desetinná čísla | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Zlomky | Více ZlomkyZlomky zapisujeme ve tvaru \frac{a}{b}, kde a se nazývá čitatel a b jmenovatel. Aby měl zlomek smysl, nesmí být jmenovatel nula. Význam zlomku odpovídá dělení. Příklad: ve zlomku \frac32 je čitatelem číslo 3 a jmenovatelem číslo 2, hodnota zlomku \frac32 se rovná dělení 3:2 = 1{,}5 („jedna a půl“). Hodnota zlomku se nemění rozšiřováním a krácením (nenulovým číslem c).
Příklady:
Díky rozšiřování a krácení můžeme stejnou hodnotu zapsat nekonečně mnoha různými zlomky. Zlomek \frac{a}{b} je v základním tvaru, pokud jsou čísla a, b nesoudělná (tj. jejich jediný kladný společný dělitel je číslo 1). Příklady:
Poznávání zlomků | Více | Poznávání zlomkůZlomky vyjadřují „části z celku“. Můžeme je graficky vyjádřit mnoha způsoby: ![]() Zlomky na číselné ose | Více | Zlomky na číselné oseZlomek můžeme na číselnou osu umístit tak, že ho převedeme na desetinné číslo (podělíme prostě čitatele jmenovatelem) a pak postupujeme stejně jako u desetinných čísel. Například \frac{6}{5} = 1{,}2, tj. zlomek \frac{6}{5} leží dvě desetiny za jedničkou. Další příklady: ![]() Zlomky menší než 1 můžeme umisťovat na číselnou osu také přímo (bez převodu na desetinné číslo) díky představě „část z celku“. Pokud máme umístit zlomek \frac{3}{7}, představíme si, jak bychom rozdělili úsečku od 0 po 1 na sedm stejných dílků. Zlomek \frac{3}{7} pak umístíme na třetí pozici. Hodí se vybudovat si dobrou představu zejména pro zlomky s malým jmenovatelem: ![]() Porovnávání zlomků | Více | Porovnávání zlomkůPorovnávání zlomků se stejným jmenovatelem je jednoduché, stačí prostě porovnat čitatele. Pokud například porovnáváme zlomky \frac{3}{7} a \frac{5}{7}, je větší druhý zlomek. Oba zlomky vyjadřují sedminy z celku a je prostě víc, když máme sedmin pět. ![]() Pokud mají zlomky stejného čitatele, pak stačí porovnat jmenovatele. V tomto případě je však pořadí zlomků opačné než pořadí jmenovatelů. Pokud porovnáváme třeba zlomky \frac{1}{4} a \frac{1}{5}, je větší jedna čtvrtina: dostanu větší kousek pizzy, pokud se bude dělit mezi 4 lidi, než když se bude dělit mezi 5 lidí. ![]() Náročnější je porovnávání zlomků s odlišnými jmenovateli i čitateli. V tomto případě potřebujeme zlomky nejprve převést na společného jmenovatele a teprve následně provést porovnání podle čitatelů. Příklad: porovnání zlomků \frac{2}{3} a \frac{4}{7}. Nejmenší společný jmenovatel je 21, po rozšíření dostáváme dvojici zlomků \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 7}=\frac{14}{21} a \frac{4}{7}=\frac{4\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{12}{21}. Protože 14 > 12, je větší první zlomek, tj. \frac{2}{3}. ![]() Často můžeme provést porovnání i bez detailního výpočtu, pokud si zlomky správně představíme nebo porovnáme s vhodnou hodnotou „mezi“:
Krácení zlomků | Více | Krácení zlomkůStejnou hodnotu můžeme vyjádřit mnoha zlomky, například \frac23 = \frac46 = \frac{10}{15} = \frac{200}{300}. Jen jedno možné vyjádření ovšem považujeme za základní tvar. Zlomek je v základním tvaru, pokud jsou čitatel a jmenovatel nesoudělní, tj. nemají žádného společného dělitele kromě jedničky. V uvedeném příkladě je v základním tvaru zlomek \frac23. Jako krácení zlomku se označuje operace, kdy čitatele i jmenovatele vydělíme stejným, nenulovým číslem. Krácení zachovává hodnotu zlomku. Pokud chceme zlomek převést do základního tvaru, krátíme největším společným dělitelem čitatele a jmenovatele. ![]() Další příklady:
Smíšená čísla | Více | Smíšená číslaPokud je u zlomku jmenovatel větší než čitatel (zlomek je menší než jedna), označuje se zlomek jako pravý. Nepravé zlomky (tedy ty, které jsou větší jak jedna) můžeme zapsat pomocí smíšeného čísla. Smíšené číslo a\frac{b}{c} je zápis součtu a + \frac{b}{c}, kde \frac{b}{c} je kladný zlomek menší než jedna. Příklady:
Převod smíšeného čísla na zlomek uděláme na základě pozorování, že jednotku můžeme zapsat jako \frac{c}{c}. Příklad: 3\frac14 = 3\cdot\frac44 + \frac14 = \frac{12}{4}+\frac14 = \frac{13}{4}. ![]() Převod nepravého zlomku na smíšené číslo uděláme pomocí dělení se zbytkem. Celá část smíšeného čísla odpovídá podílu, čitatel zbylého zlomku odpovídá zbytku. Příklad:
Sčítání a odčítání zlomků | Více | Sčítání a odčítání zlomkůPokud mají sčítané zlomky stejného jmenovatele, stačí prostě sečíst čitatele. Jmenovatele necháme stejného, tedy \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}. ![]() Pokud mají sčítané zlomky různého jmenovatele, musíme je nejprve rozšířit tak, aby měly stejného jmenovatele. Nejvýhodnější je rozšířit zlomky na nejmenší společný násobek původních jmenovatelů. Jakmile mají zlomky stejného jmenovatele, sečteme je výše uvedeným postupem. ![]() Výsledný zlomek většinou ještě krátíme, abychom dostali výsledek v základním tvaru. Odčítání zlomků funguje stejným způsobem.
Násobení a dělení zlomků | Více | Násobení a dělení zlomkůNásobení zlomků si můžeme představit skrze čokoládu. Pokud násobíme \frac45\cdot \frac23 je to jako bychom brali čtyři z pěti sloupečků a dva ze tří řádků. Kolik čtverečků čokolády takto vezmeme? Osm z patnácti, tedy \frac{8}{15}. ![]() Při násobení zlomků tedy prostě vynásobíme čitatele prvního zlomku a čitatele druhého zlomku a dostaneme výsledný čitatel, podobně pro jmenovatele: \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}. Pokud si chceme ušetřit násobení velkých čísel, můžeme zlomky krátit, a to i „do kříže“. Příklady:
Dělení zlomků je to stejné jako násobení převráceným zlomkem: \frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}. Příklady:
Zlomky, mocniny, odmocniny | Více | Zlomky, mocniny, odmocninyPři umocňování (odmocňování) zlomku prostě umocníme (odmocníme) čitatele i jmenovatele:
Umocňování na zlomek odpovídá tomu, že vezmeme mocninu podle čitatele a odmocninu podle jmenovatele, tj. x^\frac{a}{b} = \sqrt[b]{a^x}. Příklady:
Zlomky: mix | Zlomky a procenta | Více | Zlomky a procentaPřevod procent na zlomek v základním tvaruJedno procento je to stejné jako jedna setina, tj. \frac{1}{100}. Vynásobíme tedy číslo (udávající procenta) zlomkem \frac{1}{100} a následně zlomek vykrátíme (pomocí dělení největším společným dělitelem) na základní tvar. Příklady:
Převod zlomku na procentaChceme zlomek \frac{a}{b} vyjádřit jako p\ \%. Protože jedno procento je jedna setina, musí tedy platit \frac{a}{b} = \frac{p}{100}. Takže p = \frac{a}{b}\cdot 100. Stačí tedy zlomek vynásobit číslem 100. Příklady:
Úpravy výrazů se zlomky | Více | Úpravy výrazů se zlomkyÚpravy výrazů se zlomky provádíme stejnými základními postupy jako ostatní úpravy výrazů, pouze při tom používáme navíc operace specifické pro zlomky, např. krácení zlomků, sčítání a odčítání zlomků, násobení a dělení zlomků. Příklady úprav:
Rovnice se zlomky | Více | Rovnice se zlomkyRovnice se zlomky řešíme stejnými postupy jako základní rovnice. Užitečným (avšak ne vždy nezbytným) prvním krokem bývá roznásobení obou stran rovnice společným násobkem všech jmenovatelů zlomků. Příklad:
Zlomky a desetinná čísla | Více | Zlomky a desetinná číslaPřevod desetinného čísla na zlomekDesetinné číslo roznásobíme pomocí mocniny desítky tak, abychom se „zbavili“ desetinné čárky. Následně zlomek vykrátíme (největším společným dělitelem), abychom dostali zlomek v základním tvaru. Příklady:
Počítání nám může usnadnit, když si zapamatujeme některé užitečné převody, s jejichž pomocí vhodné úvahy vyřešit i další příklady:
Převod zlomku na desetinné čísloVýznam zlomku je prostě podíl čitatele a jmenovatele. Zlomek tedy vyjádříme jako desetinné číslo prostě tak, že podělíme čitatele jmenovatelem (může se hodit postup pro „dělení pod sebou“). Příklady:
Procenta | Více | ProcentaProcento (%) je bezrozměrná jednotka vyjadřující jednu setinu celku. Například zápis „42 %“ (42 procent) je to stejné jako zlomek \frac{42}{100} nebo desetinné číslo 0,42. Promile (‰) je jedna desetina procenta, tedy jedna tisícina celku. Základní využití procent je pro vyjadření části celku, například:
Další oblasti využití procent jsou:
Procenta: poznávání | Více | Procenta: poznáváníPro dobré ovládnutí procent se hodí vybudovat si základní intuici o tom, co procenta znamenají a jak odpovídají jednotlivé hodnoty grafickému znázornění. Pro některé často se vyskytující hodnoty se hodí zapamatovat si význam zpaměti:
Počítání s procenty | Více | Počítání s procentyPro počítání s procenty je nejdůležitější si uvědomit, že procento je jedna setina, tj. vzorec. Pokud tedy chceme vypočítat například „15 % z 300“, počítáme takto: vzorec.
Pro některá často se vyskytující procenta si můžeme výpočet usnadnit:
Zlomky a procenta | Více | Zlomky a procentaPřevod procent na zlomek v základním tvaruJedno procento je to stejné jako jedna setina, tj. \frac{1}{100}. Vynásobíme tedy číslo (udávající procenta) zlomkem \frac{1}{100} a následně zlomek vykrátíme (pomocí dělení největším společným dělitelem) na základní tvar. Příklady:
Převod zlomku na procentaChceme zlomek \frac{a}{b} vyjádřit jako p\ \%. Protože jedno procento je jedna setina, musí tedy platit \frac{a}{b} = \frac{p}{100}. Takže p = \frac{a}{b}\cdot 100. Stačí tedy zlomek vynásobit číslem 100. Příklady:
Procenta: mix | Desetinná čísla | Více | Desetinná číslaDesetinné číslo je způsob zápisu čísla pomocí celé části a desetinné části, která je oddělená desetinnou čárkou. Například v zápisu 154,28 je 154 celou částí a 28 desetinnou částí. Na prvním místě za desetinou čárkou jsou desetiny, na druhém setiny, na třetím tisíciny. Pomocí desetinných čísel vyjadřujeme čísla, která nejsou „celá“. Například pokud rozdělíme 6 koláčů spravedlivě mezi 4 děti, dostane každé dítě „jedna a půl“ koláče, což zapisujeme jako 1,5. Poznámka k zápisu desetinných čísel: V češtině se používá desetinná čárka. V anglosaském světě se používá desetinná tečka, tj. místo 154,28 se píše 154.28. Tento způsob zápisu se používá ve výpočetní technice všude na světě. Desetinná čísla slovně | Více | Desetinná čísla slovněDesetinná čísla můžeme číst mnoha různými způsoby. První je „přímočaré čtení“, kdy pouze místo „čárka“ říkáme „celá“. Desetinnou část můžeme přečíst jako jedno číslo, nebo vyjmenovat po cifrách:
Dále můžeme desetinné číslo přečíst pomocí desetin, setin, tisícin:
Někdy také desitinné číslo můžeme pojmenovat podle zlomku, který mu přísluší:
Porovnávání desetinných čísel | Více | Porovnávání desetinných číselPři porovnávání desetinných čísel najdeme tu „nejdůležitější“ část, ve které se liší, a podle ní srovnání provedeme. Tedy nejprve porovnáváme celou část. Pokud jsou celé části shodné, porovnáváme desetiny, následně setiny, tisíciny a tak dále. Nezapomeneme též zkontrolovat znaménko, které má stejný vliv jako u celých čísel. Příklady:
Zaokrouhlování desetinných čísel | Více | Zaokrouhlování desetinných číselZaokrouhlování desetinných čísel funguje podobně jako zaokrouhlování celých čísel, pouze pracujeme i s částí za desetinnou čárkou. U desetinných čísel je téma zaokrouhlování obzvlášť důležité, protože se mu občas nemůžeme vyhnout – některá čísla v desítkové soustavě totiž nelze přesně zapsat, například \frac{1}{3} = 0{,}3333\ldots, \sqrt{2} = 1{,}4142\ldots, \pi = 3{,}14159\ldots Zaokrouhlování na desetiny znamená, že číslo nahradíme nejbližším násobkem čísla 0,1 (tj. číslem s jednou cifrou za desetinnou čárkou). Zaokrouhlování na setiny znamená, že číslo nahradíme nejbližším násobkem čísla 0,01 (tj. číslem s dvěma ciframi za desetinnou čárkou). Podobně zaokrouhlujeme i s vyšší přesností. Stejně jako při zaokrouhlování celých čísel i u desetinných čísel zaokrouhluje čísla končící číslicí 5 nahoru. Příklady:
Desetinná čísla na číselné ose | Více | Desetinná čísla na číselné osePodobně jako na jiných číselných osách, první krok je určit, jaké jsou rozestupy mezi značkami na číselné ose. Při práci s desetinnými čísly bývá často rozestup 0,1 (jedna desetina), ale nemusí to tak být nutně. Příklad: ![]() Sčítání a odčítání desetinných čísel | Více | Sčítání a odčítání desetinných číselPři sčítání a odčítání desetinných čísel postupujeme stejně jako při běžném sčítání a odčítání, pouze musíme mít čísla „zarovnaná“ podle desetinné čárky. Jako vhodná pomůcka (zejména při sčítání a odčítání pod sebou) může být doplnit si nuly zprava, aby obě čísla měla stejný počet cifer za desetinnou čárkou. Příklady:
Násobení desetinných čísel | Více | Násobení desetinných číselNásobení desetinných čísel můžeme udělat následovně: 1) Obě čísla vynásobíme, jako kdyby desetinnou čárku vůbec neměla. 2) Do výsledku umístíme desetinnou čárku tak, aby měl výsledek tolik desetinných míst jako oba činitelé dohromady. Tento postup odpovídá násobení a následnému dělení mocninami desítky. Příklady:
Výsledek je dobré zkontrolovat pomocí rychlého odhadu pomocí zaokrouhlených čísel. Například při násobení 0{,}9 \cdot 0{,}8 jsou oba činitelé „trochu menší než 1“, takže i výsledek by měl být „trochu menší než 1\cdot 1“, při násobení 4{,}92\cdot 3{,}06 můžeme snadno odhadnout, že výsledek by měl být přibližně 5\cdot 3=15. Dělení desetinných čísel | Více | Dělení desetinných číselPři dělení desetinných čísel se můžeme desetinné části snadno zbavit tak, že dělence i dělitele vynásobíme dostatečně velkou mocninou desítky. Následně pak čísla dělíme stejně jako přirozená čísla. Příklady:
Zlomky a desetinná čísla | Více | Zlomky a desetinná číslaPřevod desetinného čísla na zlomekDesetinné číslo roznásobíme pomocí mocniny desítky tak, abychom se „zbavili“ desetinné čárky. Následně zlomek vykrátíme (největším společným dělitelem), abychom dostali zlomek v základním tvaru. Příklady:
Počítání nám může usnadnit, když si zapamatujeme některé užitečné převody, s jejichž pomocí vhodné úvahy vyřešit i další příklady:
Převod zlomku na desetinné čísloVýznam zlomku je prostě podíl čitatele a jmenovatele. Zlomek tedy vyjádříme jako desetinné číslo prostě tak, že podělíme čitatele jmenovatelem (může se hodit postup pro „dělení pod sebou“). Příklady:
Desetinná čísla, mocniny, odmocniny | Desetinná čísla: mix | Rovnice s desetinnými čísly | Více | Rovnice s desetinnými číslyRovnice s desetinnými čísly řešíme stejnými postupy jako základní rovnice, pouze při tom máme na paměti pravidla pro sčítání, odčítání, násobení a dělení desetinných čísel. Často si můžeme řešení usnadnit tím, že celou rovnici vynásobíme deseti (případně vyšší mocninou desítky). Příklad:
|
Geometrie | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Prostorová představivost | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Prostorová představivost v rovině | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Nárys, půdorys, bokorys | Více Nárys, půdorys, bokorysNárys, bokorys a půdorys slouží k dvojrozměrnému zakreslení trojrozměrného objektu pomocí pravoúhlého promítání. Každý z nich zachycuje pohled na objekt z jiného směru:
Síť krychle | Více | Síť krychleSíť krychle můžeme zakreslit 11 různými způsoby: ![]() Sítě těles | Více | Sítě tělesSíť tělesa je rovinné zakreslení, ze kterého jde poskládat plášť tělesa. Příklady sítí: ![]() Síť tělesa jde většinou zakreslit mnoha různými způsoby. Síť krychle můžeme zakreslit takto: ![]() Řezy krychle | Řezy těles | Počty vrcholů, stěn, hran | Více | Počty vrcholů, stěn, hranPro počet vrcholů v, hran h a stěn s konvexního mnohostěnu platí Eulerova věta: v - h + s = 2. Počty vrcholů, stěn a hran pro pravidelné mnohostěny:
Prostorová představivost: 3D objekty | Prostorová představivost: mix | Geometrické pojmy | Názvy geometrických útvarů a těles | Více | Názvy geometrických útvarů a těles![]() Pojmy související s úhly | Více | Pojmy související s úhly![]()
Pojmy související s trojúhelníkem | Více | Pojmy související s trojúhelníkem![]()
Pozn. Přesné definice rovnoramenného trojúhelníku se liší: někteří autoři vyžadují „alespoň“ dvě strany shodné, jiní „právě“ dvě strany shodné. Rozdíl je v tom, zda rovnostranné trojúhelníky považujeme za rovnoramenné. Pojmy související s kružnicí | Více | Pojmy související s kružnicí![]()
Geometrické pojmy: mix | Kuželosečky: pojmy | Obsah, obvod | Více | Obsah, obvodObsah značíme S. Obsah vyjadřuje, kolik „místa v rovině“ útvar zaujímá. Měří se v jednotkách obsahu. Obvod značíme o. Obvod je součet délek čar, které útvar vymezují. Obvod se měří v jednotkách délky. Přehled vzorců pro obsah a obvod základních geometrických útvarů: ![]() Obsah (na mřížce) | Obvod (na mřížce) | Obsah: trojúhelníky, čtyřúhelníky | Více | Obsah: trojúhelníky, čtyřúhelníky
![]() Obvod: trojúhelníky, čtyřúhelníky | Více | Obvod: trojúhelníky, čtyřúhelníkyObvod u trojúhelníků a čtyřúhelníků je prostě součet délek jejich stran.
Obsah, obvod: kruh, kružnice | Více | Obsah, obvod: kruh, kružniceVzorceObvod kruhu (i kružnice) o poloměru r je o=2\pi r. Pro průměr d platí o = \pi d. Obsah kruhu o poloměru r je S=\pi r^2. Pro průměr d platí S = \frac{1}{4} \pi d^2. Konstanta \pi se nazývá též Ludolfovo číslo. \pi je iracionální číslo, což znamená, že nejde vyjádřit zlomkem ani zapsat přesně v desítkové soustavě. Přibližná hodnota \pi je 3,14159265. Při výpočtu obsahu a obvodu kruhu dáváme dobrý pozor na to, zda vycházíme ze znalosti poloměru nebo průměru. Záměna průměru za poloměr je častou chybou. IntuiceZákladní intuici za vzorci pro výpočet obsahu a obvodu kruhu přibližuje níže uvedený obrázek. Žluté čtverce mají obsah r^2. Oranžový čtverec se skládá ze čtyř žlutých čtverců, takže má obsah 4\cdot r^2. Kruh má „o trochu menší“ obsah než oranžový čtverec, což odpovídá tomu, že obsah kruhu je přibližně 3{,}14 \cdot r^2. Obvod oranžového čtverce je 8\cdot r. Obvod kruhu je opět „o trochu menší“ – je to 2\pi \cdot r \approx 6{,}3 \cdot r. ![]() Příklady
Obsah: kombinace útvarů | Obsah, obvod: mix | Objem, povrch | Více | Objem, povrchObjem tělesa vyjadřuje kolik místa v prostoru těleso zaujímá. Můžeme si jej představit jako množství vody, které bychom potřebovali, kdybychom chtěli těleso „napustit“. Pro vyjádření objemu využíváme jednotky objemu. Povrch tělesa je součet obsahů všech ploch, které těleso ohraničují. Můžeme si jej představit jako velikost barevného papíru, který potřebujeme na „polepení“ tělesa. Pro vyjádření povrchu využíváme jednotky obsahu. Značení ve vzorcích
Vzorce
Objem: krychle, kvádr, hranol, jehlan | Více | Objem: krychle, kvádr, hranol, jehlanVzorce pro objem „hranatých“ těles vychází z obsahu podstavy a výšky tělesa. Objem libovolného hranolu je součin obsahu podstavy a výšky: V=S_p\cdot v. Kvádr a krychle jsou speciální případy hranolu, jejich podstava je obdélník (čtverec) a výška je zbývající hrana. Objem kvádru je tedy součin délek jeho hran: V = abc. Objem krychle vypočítáme stejným způsobem. Protože v krychli jsou všechny hrany stejně dlouhé, výraz se zjednoduší na V = a^3. Objem jehlanu je jedna třetina součinu obsahu podstavy a výšky, tj. V=\frac{1}{3}S_p\cdot v. Pro pravidelný čtyřboký jehlan pak tedy V=\frac{1}{3} a^2v. Příklady:
![]() Povrch: krychle, kvádr, hranol, jehlan | Více | Povrch: krychle, kvádr, hranol, jehlanPovrch „hranatých“ těles je prostě součet obsahů jednotlivých stran. Hranol má dvě stejné podstavy a plášť, povrch je tedy S=2\cdot S_p+S_{pl}. Jehlan má jednu podstavu a plášť, povrch je tedy S=S_p+S_{pl}. Stěny kvádru jsou obdélníky, přičemž vždy dvě jsou stejně velké. Povrch tedy vypočítáme jako S = 2(ab+ac+bc). Krychle má šest stěn a všechny jsou tvořeny stejným čtvercem. Povrch je S=6a^2. ![]() Objem: koule, válec, kužel | Více | Objem: koule, válec, kuželObjem „kulatých“ těles vypočítáme za využití konstanty \pi \approx 3{,}14159265. Ve vzorcích označuje r poloměr (koule či podstavy) a v výšku válce.
![]() Povrch: koule, válec, kužel | Více | Povrch: koule, válec, kuželPovrch „kulatých“ těles vypočítáme za využití konstanty \pi \approx 3{,}14159265. Ve vzorcích označuje r poloměr (koule či podstavy), v výšku válce, s stranu kužele.
![]() Objem, povrch: mix | Úhly | Poznávání úhlů | Více | Poznávání úhlůPlný úhel je 360°. Často používané úhly ukazuje obrázek: ![]() Úhly v trojúhelníku | Úhly ve čtyřúhelníku | Úhly a mnohoúhelníky | Úhly a kružnice | Pojmy související s úhly | Více | Pojmy související s úhly![]()
Geometrické konstrukce | Geometrické konstrukce: značení | Více | Geometrické konstrukce: značení
Rovnoběžky a kolmice | Více | Rovnoběžky a kolmiceRovnoběžky jsou dvě přímky ležící ve stejné rovině, které se nikde neprotínají. Rovnoběžnost přímek p a q zapisujeme p \parallel q. Kolmice je přímka, která protíná jinou přímku a svírá s ní úhel 90°. Kolmost přímek p a q zapisujeme p \perp q. Dvě přímky, které jsou kolmé na nějakou třetí přímku a současně obě leží v jedné rovině, jsou rovnoběžky. Trojúhelníky | Čtyřúhelníky | Konstrukční úlohy | Geometrické konstrukce: mix | Operace a vlastnosti v rovině | Osová souměrnost | Více | Osová souměrnostOsová souměrnost je dána přímkou o a přiřazuje každému bodu X mimo osu takový bod X', že přímka o je osou úsečky XX'. Jinými slovy: obraz má od osy stejnou vzdálenost jako původní bod a spojnice bodů je kolmá na osu. Osová souměrnost zachovává vzdálenosti i úhly, jde tedy o druh shodnosti. Útvar označujeme za osově souměrný, pokud je v nějaké osové souměrnosti obrazem sebe sama. Osu této souměrnosti pak nazýváme osou útvaru. Obrázek uvádí příklady útvarů osově souměrných (zelené, s vyznačenými osami souměrnosti) i těch nesouměrných (červené): ![]() Další příklady:
Středová souměrnost | Více | Středová souměrnostStředová souměrnost je dána bodem S a přiřazuje každému bodu X takový bod X', že bod S je středem úsečky XX'. Jinými slovy: obraz má od středu stejnou vzdálenost jako původní bod a leží na polopřímce opačné k SX. Středová souměrnost zachovává vzdálenosti i úhly, jde tedy o druh shodnosti. Středová souměrnost se středem v bodě S je shodná s otočením o 180 stupňů podle středu S. Útvar označujeme za středově souměrný, pokud je v nějaké středové souměrnosti obrazem sebe sama. Střed této středové souměrnosti pak nazýváme středem souměrnosti objektu. Obrázek uvádí příklady útvarů středově souměrných (zelené, s vyznačeným středem souměrnosti) i těch nesouměrných (červené): ![]() Další příklady:
Podobnost, shodnost | Otočení | Určení zobrazení v rovině | Pravoúhlý trojúhelník | Pythagorova věta | Více | Pythagorova větaPythagorova věta popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlého trojúhelníku. Věta zní: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad oběma jeho odvěsnami. Pythagorovu větu můžeme zapsat vztahem c^2 = a^2 + b^2, kde c označuje délku přepony pravoúhlého trojúhelníka a délky odvěsen jsou a, b. Následující obrázek znázorňuje graficky znění věty a také „obrázkový důkaz“ této věty: ![]() Platí i opačný směr: Pokud má trojúhelník strany délek a, b, c, které splňují rovnost c^2 = a^2 + b^2, pak musí jít o pravoúhlý trojúhelník s přeponou c. Pythagorova věta: základní použití | Více | Pythagorova věta: základní použitíPythagorova věta umožňuje dopočítat délku třetí strany pravoúhlého trojúhelníka, u kterého známe délky dvou zbývajících stran:
Pythagorejské trojice jsou trojice celých čísel, které splňují a^2+b^2=c^2, tj. trojúhelník s příslušnými délkami stran je pravoúhlý. Typickým příkladem Pythagorejské trojice je (3, 4, 5): 3^2 + 4^2 = 9+16 = 25 = 5^2. Další příklady Pythagorejských trojic: (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (9, 40, 41). Mezi Pythagorejské trojice patří také všechny násobky těchto trojic, např. (6, 8, 10); (9, 12, 15); (10, 24, 26). Pokud si zapamatujeme některé základní Pythagorejské trojice, především nejjednodušší trojici (3, 4, 5), tak nám to může usnadnit výpočty. Pythagorova věta: aplikace | Více | Pythagorova věta: aplikacePythagorova věta má v geometrii velice široké využití, protože mnoho složitějších útvarů můžeme rozližit na pravoúhlé trojúhleníky. Typickým příkladem aplikace Pythagorovy věty je výpočet délky uhlopříčky čtverce nebo výšky rovnostranného trojúhelníku: ![]() Ve čtverci o straně a tvoří uhlopříčka přeponu pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami délky a. Pro délku uhlopříčky u tedy platí u^2 = a^2 + a^2. Po úpravách: u = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. Například čtverec o straně 10 cm tedy má uhlopříčku délky 10\cdot \sqrt{2} \doteq 14,1 metru. V rovnostranném trojúhelníku o straně a tvoří výška odvěsnu pravoúhlého trojúhelníku s přeponou délky a a odvěsnou délky \frac{a}{2}. Pro délku výšky v tedy platí v^2 + \large(\frac{a}{2}\large)^2 = a^2. Po úpravách dostáváme v^2 = a^2 - \frac{a^2}{2^2} = \frac{3}{4}a^2, v = a\frac{\sqrt{3}}{2}. Například v rovnostranném trojúhelníku o straně 5 metrů má tedy výška délku \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 5 \doteq 4,33 metru. Pythagorova věta: mix | Euklidovy věty | Více | Euklidovy větyEuklidovy věty jsou dvě tvrzení o vlastnostech pravoúhlého trojúhelníku. ![]() Euklidova věta o výšceObsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony: v_c^2 = c_a\cdot c_b Euklidova věta o odvěsněObsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.
Analytická geometrie | Rovnice přímky | Vektory | Polohové úlohy | Metrické úlohy | Kuželosečky | Kuželosečky: pojmy | Rovnice kuželoseček | Kuželosečky: mix | Geometrie: mix | |
Elementární algebra | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Algebraické výrazy a jejich úpravy | Více Algebraické výrazy a jejich úpravyAlgebraický výraz je tvořen z konstant („čísla“) a proměnných („písmenka“), které jsou dohromady spojeny pomocí algebraických operací (např. sčítání, násobení) a závorek. Proměnná zastupuje čísla z určitého oboru hodnot. Pomocí algebraických výrazů můžeme provádět obecné výpočty. Příklad:
Dosazování do výrazů | Více | Dosazování do výrazůZákladní krok pro práci s algebraickými výrazy je dosazení hodnoty za proměnnou. Častým zdrojem chyb při dosazování jsou „mínuska“, dáváme si na ně tedy obzvlášť pozor. Příklad:
Úpravy výrazů s jednou proměnnou | Více | Úpravy výrazů s jednou proměnnouProvádíme takové úpravy výrazů, které zachovávají hodnotu výrazu pro všechna možná dosazení za proměnné. Příklady úprav:
Pozor na častou chybu v případě odečtení závorky: nesmíme zapomenout, že „mínus a mínus dává plus“. Úpravy výrazů s více proměnnými | Více | Úpravy výrazů s více proměnnýmiProvádíme takové úpravy výrazů, které zachovávají hodnotu výrazu pro všechna možná dosazení za proměnné. Příklady úprav:
Úpravy výrazů se zlomky | Více | Úpravy výrazů se zlomkyÚpravy výrazů se zlomky provádíme stejnými základními postupy jako ostatní úpravy výrazů, pouze při tom používáme navíc operace specifické pro zlomky, např. krácení zlomků, sčítání a odčítání zlomků, násobení a dělení zlomků. Příklady úprav:
Lomené výrazy | Více | Lomené výrazyLomený výraz má tvar zlomku, v jehož jmenovateli je mnohočlen (výraz s proměnnou). Příkladem lomeného výrazu je \frac{x+2}{x^2-1}. S lomenými výrazy počítáme podobně jako se zlomky. U lomených výrazů je potřeba brát v potaz podmínky, za kterých má smysl. Lomený výraz má smysl pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je výraz ve jmenovateli různý od nuly. Příklady:
Rovnice s lomenými výrazy | Více | Rovnice s lomenými výrazyRovnice s lomenými výrazy řešíme stejnými postupy jako základní rovnice. Užitečným (avšak ne vždy nezbytným) prvním krokem bývá roznásobení obou stran rovnice společným násobkem všech jmenovatelů lomených výrazů. Řešený příklad:
Výrazy s faktoriálem a kombinačními čísly | Rovnice | Více | RovniceRovnice s neznámou x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde L(x), P(x) jsou výrazy s proměnnou x. L(x) je levá strana rovnice, P(x) je pravá strana rovnice. Řešit rovnici znamená najít všechny hodnoty proměnné x, pro které výrazy L(x) a P(x) nabývají stejné hodnoty. Tato čísla nazýváme kořeny rovnice. Výpočet hodnot L(x) a P(x) pro konkrétní x se nazývá zkouška. Příklad: uvažme rovnici 2x-7 = 5-4x.
Rovnice dělíme podle typu výrazů, které se v nich objevují. Například:
Rovnice řešíme ekvivalentními úpravami, což jsou úpravy, které nemění množinu kořenů rovnice. Mezi takové úpravy patří například:
Jednokrokové rovnice | Více | Jednokrokové rovniceNejjednodušší rovnice jako vzorec nebo vzorec vedou na jednokrokové řešení, tj. stačí provést jednu úpravu rovnice (např. odečtení čísla 2 od obou stran rovnice v prvním případě). Tyto rovnice lze vesměs řešit snadno i intutitivní úvahou (pro jaké číslo platí, že když k němu přičtu dvojku, dostanu pětku?). Slouží tak jako dobrý výchozí bod pro seznámení s tématem rovnic. Základní rovnice s jednou neznámou | Více | Základní rovnice s jednou neznámouNejjednodušší rovnice obsahují pouze lineární výrazy, tj. vyskytují se v nich pouze konstanty a násobky proměnné x. Rovnici upravujeme pomocí ekvivaletních úprav: přičítání a odčítání stejného výrazu k oběma stranám rovnice, úpravy výrazů na levé a pravé straně. Pomocí takových úprav ji převedeme do tvaru x = a, kde a je řešení. Příklad: rovnici 2x-7 = 5-4x můžeme řešit těmito kroky:
Může se stát, že rovnice nemá žádné řešení (např. x+2=x+3), nebo že řešením rovnice je libovolné číslo (např. x+1+x = 2x+1). V ostatních případech mají lineární rovnice právě jedno řešení. Mezi časté chyby při řešení rovnic patří:
Rovnice se závorkami | Více | Rovnice se závorkamiRovnice se závorkami můžeme řešit stejným způsobem jako základní rovnice, pouze jako první krok odstraníme závorky. Například: rovnici 2(x+3) = 12 - x můžeme řešit takto:
V některých případech si však můžeme ušetřit práci, pokud závorky neroznásobíme. Například v rovnici 3(x+1) = 18 je výhodnější nejdříve rovnici podělit číslem 3, čímž dostaneme x+1 = 6, z čehož již snadno dostaneme x=5. Rovnice s neznámou ve jmenovateli | Více | Rovnice s neznámou ve jmenovateliPokud rovnice obsahuje zlomek, ve kterém se vyskytuje neznámá ve jmenovateli, musíme rovnici nejdříve vynásobit jmenovatelem (případně nejmenším společným násobkem všech jmenovatelů). Tím rovnici převedeme na základní rovnici, kterou řešíme běžným postupem. Řešený příklad:
Rovnice se zlomky | Více | Rovnice se zlomkyRovnice se zlomky řešíme stejnými postupy jako základní rovnice. Užitečným (avšak ne vždy nezbytným) prvním krokem bývá roznásobení obou stran rovnice společným násobkem všech jmenovatelů zlomků. Příklad:
Rovnice s desetinnými čísly | Více | Rovnice s desetinnými číslyRovnice s desetinnými čísly řešíme stejnými postupy jako základní rovnice, pouze při tom máme na paměti pravidla pro sčítání, odčítání, násobení a dělení desetinných čísel. Často si můžeme řešení usnadnit tím, že celou rovnici vynásobíme deseti (případně vyšší mocninou desítky). Příklad:
Rovnice s lomenými výrazy | Více | Rovnice s lomenými výrazyRovnice s lomenými výrazy řešíme stejnými postupy jako základní rovnice. Užitečným (avšak ne vždy nezbytným) prvním krokem bývá roznásobení obou stran rovnice společným násobkem všech jmenovatelů lomených výrazů. Řešený příklad:
Vyjádření neznámé z rovnice | Více | Vyjádření neznámé z rovniceČasto máme rovnici s několika neznámými a potřebujeme vyjádřit jednu z nich. Typicky na takovou situaci narazíme ve fyzice. Máme třeba vzorec pro výpočet dráhy na základě času: s = \frac{1}{2}gt^2. Z této rovnice chceme vyjádřit čas v závislosti na dráze, tj. t = \sqrt{\frac{2s}{g}}. Při řešení tohoto problému používáme stejné postupy jako při řešení rovnic s číselnými koeficienty, pouze místo přímých výpočtů provádíme úpravy výrazů. Příklad:
Dvě rovnice o dvou neznámých | Více | Dvě rovnice o dvou neznámýchSoustava dvou rovnic o dvou neznámých je podobná jako základní rovnice, jen máme místo jedné proměnné x navíc i proměnnou y a rovnice jsou dvě. Podobně jako rovnic o jedné proměnné můžeme mít celou řadu různých typů, i dvě rovnice o dvou neznámých mohou být lineární, kvadratické, logaritmické a jiné. Většinou se však procvičují pouze základní lineární rovnice. Pokud totiž dobře zvládneme jejich řešení, můžeme naučené postupy použít i na složitější rovnice. Základní metody řešení soustavy dvou rovnic jsou dosazovací metoda a sčítací metoda.
Dosazovací metodaPři řešení dosazovací metodou vyjádříme z jedné rovnice jednu neznámou pomocí druhé. Toto vyjádření pak dosadíme do druhé rovnice, čímž dostaneme obyčejnou jednu rovnici o jedné neznámé. Ukázka postupu na uvedeném příkladě:
Sčítací metodaPři řešení sčítací metodou sečteme (či odečteme) odděleně levé a pravé strany obou rovnic. Tato úprava vede k cíli, pokud nám při této operaci jedna z proměnných vypadne. V některých případech je proto nutné nejdříve jednu z rovnic vynásobit vhodným číslem. V případě naší ukázkové soustavy stačí rovnice prostě sečíst. Tím dostaneme 3x = 9, odtud x=3 a dosazením pak již dopočítáme y. Kvadratické rovnice | Více | Kvadratické rovniceKvadratická rovnice je rovnice, ve které se vyskytuje jedna neznámá ve druhé mocnině. Základní tvar kvadratické rovnice je: ax^2+bx+c=0, kde a, b, c jsou reálná čísla a a\neq 0. Pro kvadratické rovnice používáme následující názvosloví:
Příkladem kvadratické rovnice je 2x^2+6x-20 = 0. V této rovnici je kvadratický člen 2x^2, lineární člen 6x a absolutní člen -20. Kořeny této rovnice jsou 2 a -5. Speciální typy kvadratických rovnic: - Pokud je b=0 nazýváme rovnici ryze kvadratickou: ax^2+c=0. - Pokud je c=0 mluvíme o rovnici bez absolutního členu: ax^2+bx=0. Řešení kvadratické rovniceKaždou kvadratickou rovnici lze řešit pomocí výpočtu diskriminantu D. Pro něj platí: D=b^2-4\cdot a\cdot c. Mohou nastat 3 situace:
Pro kořeny rovnice platí:
Kvadratické rovnice můžeme řešit i bez počítání diskriminantu za využití Vietových vzorců. Pro kořeny rovnice platí: x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. V případě a=1: x_1+x_2=-b, x_1\cdot x_2=c. Příklad řešení kvadratické rovnice
Exponenciální rovnice | Více | Exponenciální rovniceExponenciální rovnice má neznámou v exponentu (mocniteli), např. 3^{2x}-3^x=6. Exponenciální rovnice lze řešit různými způsoby. Nejjednoduší je řešení rovnice se stejnými základy. Pokud se nám podaří rovnici převést na tvar a^{f(x)} = a^{g(x)}, můžeme se zbavit exponenciální funkce a řešit f(x) = g(x). Složitější způsoby řešení exponenciálních rovnic jsou logaritmování a substituce. Logaritmické rovnice | Více | Logaritmické rovniceLogaritmická rovnice je taková, kde neznámá vystupuje jako argument logaritmické funkce, např. 2 \cdot \log_6(x-2) = \log_6(14-x). U logaritmických rovnic musíme dávat pozor na podmínky na řešení. Argument každého logaritmu totiž musí být vždy kladné číslo. V uvedeném příkladě tedy musí platit x-2>0 a současně 14-x > 0. Logaritmické rovnice řešíme za využití vlastností logaritmické funkce a jejího vztahu k exponenciální funkci. Dílčí způsoby, jak řešit logaritmické rovnice:
Rovnice: mix | Úlohy s rovnicemi | Myslím si číslo | Více | Myslím si čísloSlovní úlohy typu „myslím si číslo“ spočívají v tom, že si vypravěč myslí tajné číslo, řekne nám o něm informaci a my musíme číslo odhalit. Příklad: Myslím si číslo. Když od něj odeberu 6 a výsledek vydělím dvěma, dostanu 2. Jaké číslo si myslím? Jednoduché úlohy tohoto typu lze řešit úvahou z hlavy. Pro složitější úlohy se hodí zapsat úlohu pomocí rovnice. Přímá a nepřímá úměrnost | Více | Přímá a nepřímá úměrnostPřímá úměrnost je závislost veličiny y na druhé veličině x, kdy se při zvýšení veličiny x zvýší poměrně i hodnota veličiny y. Přímou úměrnost tedy můžeme popsat vztahem y=k\cdot x, kde k je konstanta úměrnosti. Grafem přímé úměrnosti je přímka, která prochází počátkem souřadnic (bodem [0, 0]). Příklady přímé úměrnosti:
Nepřímá úměrnost je závislost veličiny y na druhé veličině x, kdy se při zvýšení veličiny x sníží poměrně hodnota veličiny y. Nepřímou úměrnost tedy můžeme popsat vztahem y=\frac{k}{x}. Grafem nepřímé úměrnosti je hyperbola. Příklady nepřímé úměrnosti:
Úlohy o směsích | Více | Úlohy o směsíchÚlohy o směsích jsou speciální typ slovních úloh, ve kterých pracujeme se směsí dvou (nebo více) typů objektů, které mají trochu jiné vlasnosti. Může jít o směs roztoků, čokolád, zeleniny a nebo třeba tučňáků. Příklad slovní úlohy o směsích: V Antarktidě žijí vedle sebe tučňáci císařští, kteří váží 35 kilogramů, a menší tučňáci kroužkoví, ti váží pouze 5 kilogramů. Včera objevilo 60 tučňáků obrovskou starou váhu ze ztroskotané nákladní obchodní lodi. Když na ni všichni vlezli, váha ukázala 840 kilogramů. Kolik bylo v objevitelské tučňáčí bandě tučňáků kroužkových? Úlohy o směsích řešíme pomocí rovnic. Společná práce | Více | Společná práceÚlohy o společné práci jsou speciální typ slovních úloh, ve kterých typicky vystupuje několik pracantů a máme za úkol určit, jak dlouho by jim trvala práce společně. Příklad úlohy o společné práci: Na hodině bylinkářství v kouzelnické škole v Bradavicích žáci okopávali záhony s mandragorami. Nevillovi trvalo okopání záhonu 40 minut, Draco Malfoy zvládl stejně velký záhon za 24 minut. Kolik minut by jim trvalo okopání záhonu, kdyby na něm pracovali společně? Úlohy o společné práci řešíme za využití nepřímé úměry a zlomků. Úlohy s pohybem | Úlohy s rovnicemi: mix | Posloupnosti a řady | Zápis posloupností | Více | Zápis posloupnostíPosloupnost je sada objektů, ve kterých závisí na pořadí a objekty se mohou opakovat. Posloupnost může být konečná i nekonečná. Členy posloupnosti typicky zapisujeme pomocí indexů: a_n značí n-tý člen posloupnosti a. Posloupnosti můžeme zapsat různými způsoby:
Příklady:
Existuje celá řada zajímavých posloupností. Mají dokonce svoji vlastní encyklopedii. Aritmetická a geometrická posloupnost | Více | Aritmetická a geometrická posloupnostAritmetická poslupnost je matematická posloupnost, ve které je stálý rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy. Tento rozdíl se obvykle značí d a nazývá diference.
Geometrická poslupnost je matematická posloupnost, ve které je stálý poměr mezi dvěma po sobě jdoucími členy. Tento podíl se obvykle značí q a nazývá kvocient.
|
Funkce | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Typy a vlastnosti funkcí | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Základní typy funkcí | Více Základní typy funkcíGrafy základních typů funkcí: ![]() Vlastnosti funkcí | Více | Vlastnosti funkcíPozn. Pro zjednodušení popisu uvažujeme pouze funkce, jejichž definiční obor tvoří všechna reálná čísla. Funkce f se nazývá sudá, právě když pro každé x je f(-x) = f(x). Graf sudé funkce je souměrný podle osy y. Příklady sudých funkcí: f_1(x) = x^2, f_2(x) = \cos(x), f_3(x) = x^4-3x^2+2. Funkce f se nazývá lichá, právě když pro každé x je f(-x) = -f(x). Graf liché funkce je souměrný počátku. Příklady lichých funkcí: f_1(x) = 3x, f_2(x) = \sin(x), f_3(x) = x^3-2x. Funkce f se nazývá periodická, právě když existuje číslo p != 0 (perioda funkce) takové, že pro každé x platí f(x+p)=f(x). Typickými příklady periodických funkcí jsou funkce goniometrické. Naopak třeba polynomy periodické nejsou (s výjimkou konstantní funkce). Funkce f se nazývá zdola omezená, právě když existuje takové číslo k, že pro každé x platí f(x) \geq k. Funkce f se nazývá shora omezená, právě když existuje takové číslo k, že pro každé x platí f(x) \leq k. Funkce f se nazývá omezená, pokud je současně omezená shora i zdola. Příklady:
Funkce f se nazývá prostá, právě když pro každou dvojici x_1 \neq x_2 platí f(x_1) \neq f(x_2). Funkce f se nazývá rostoucí, právě když pro každou dvojici x_1 < x_2 platí f(x_1) < f(x_2). Funkce f se nazývá klesající, právě když pro každou dvojici x_1 > x_2 platí f(x_1) > f(x_2). Grafy funkcí | Souřadnice bodů | Více | Souřadnice bodůSouřadnice bodů většinou zapisujeme pomocí kartézské soustavy, která má jako osy dvě kolmé přímky. Vodorovná přímka se tradičně označuje x a souřadnice podél této osy se zapisuje první. Svislá přímka se tradičně označuje y a souřadnice podle této osy se zapisuje druhá. Příklady: ![]() Grafy lineárních funkcí | Více | Grafy lineárních funkcíLineární funkci můžeme vždy zapsat ve tvaru f(x) = a\cdot x + b, kde a a b jsou konstanty. Parametr a je směrnice (též nazývaná sklon), parametr b je absolutní člen. Grafem lineární funkce je přímka, přičemž platí:
Důležitá jsou znamínka (naznačená v obrázcích šipkami). Kladný absolutní člen znamená posun nahoru, záporný absolutní člen znamená posun dolů. Kladná směrnice znamená stoupající přímku, záporná směrnice znamená klesající přímku. ![]() Grafy kvadratických funkcí | Více | Grafy kvadratických funkcíKvadratickou funkci lze vyjádřit ve tvaru f(x) = ax^2 + bx + c, kde a\neq 0. Grafem kvadratické funkce je parabola. Tento graf zobrazuje funkci 0{,}5 x^2 + x - 4: ![]() Průsečíky s osou x jsou řešení kvadratické rovnice ax^2 + bx + c = 0. Pro výše uvedený příklad 0{,}5 x^2 + x - 4 jsou těmito řešeními x_1 = -4 a x_2 = 2. Kvadratický koeficient a ovlivňuje základní podobu paraboly:
![]() Konstantní člen c ovlivňuje posun paraboly – udává průsečík s osou y. ![]() Grafy funkcí s absolutní hodnotou | Grafy goniometrických funkcí | Více | Grafy goniometrických funkcíGrafy základních goniometrických funkcí![]() Dopad úprav funkce na graf![]() Obrázek ukazuje grafy několika úprav funkce \sin(x).
Grafy exponenciálních a logaritmických funkcí | Grafy lineárních nerovnic | Grafy funkcí: mix | Lineární funkce | Více | Lineární funkceFunkce f je lineární, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru f(x) = a\cdot x + b, kde a a b jsou konstanty. Grafem lineární funkce je přímka. Parametr a je směrnice (též nazývaná sklon), parametr b určuje její svislý posun (též nazývaný absolutní člen). Příklady lineárních funkcí:
Aby byla funkce lineární, nemusí být nutně přímo zapsána ve tvaru f(x) = a\cdot x + b. Stačí, když jde na tento tvar upravit. Příklady:
Vlastnosti lineární funkce | Více | Vlastnosti lineární funkceFunkce f je lineární, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru f(x) = a\cdot x + b, kde a a b jsou konstanty. Definiční obor lineární funkce je celá množina reálných čísel. Speciálním případem lineární funkce je funkce konstantní. Tu dostáváme v případě, že a=0. Pokud a \neq 0, pak pro lineární funkci platí:
Pro a>0 je funkce f rostoucí, pro a<0 je funkce f klesající. Pro b=0 je funkce f lichá. Grafem lineární funkce je přímka. Průsečík grafu s osou y je v bodě (0, b). Průsečík grafu s osou x je v bodě (-\frac{b}{a}, 0). Lineární funkce: mix | Základní rovnice s jednou neznámou | Více | Základní rovnice s jednou neznámouNejjednodušší rovnice obsahují pouze lineární výrazy, tj. vyskytují se v nich pouze konstanty a násobky proměnné x. Rovnici upravujeme pomocí ekvivaletních úprav: přičítání a odčítání stejného výrazu k oběma stranám rovnice, úpravy výrazů na levé a pravé straně. Pomocí takových úprav ji převedeme do tvaru x = a, kde a je řešení. Příklad: rovnici 2x-7 = 5-4x můžeme řešit těmito kroky:
Může se stát, že rovnice nemá žádné řešení (např. x+2=x+3), nebo že řešením rovnice je libovolné číslo (např. x+1+x = 2x+1). V ostatních případech mají lineární rovnice právě jedno řešení. Mezi časté chyby při řešení rovnic patří:
Grafy lineárních funkcí | Více | Grafy lineárních funkcíLineární funkci můžeme vždy zapsat ve tvaru f(x) = a\cdot x + b, kde a a b jsou konstanty. Parametr a je směrnice (též nazývaná sklon), parametr b je absolutní člen. Grafem lineární funkce je přímka, přičemž platí:
Důležitá jsou znamínka (naznačená v obrázcích šipkami). Kladný absolutní člen znamená posun nahoru, záporný absolutní člen znamená posun dolů. Kladná směrnice znamená stoupající přímku, záporná směrnice znamená klesající přímku. ![]() Kvadratické funkce | Více | Kvadratické funkceFunkce je kvadratická, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru f(x) = ax^2 + bx + c, kde a\neq 0. Funkce je ryze kvadratická, pokud nemá lineární člen (tj. b=0). Grafem kvadratické funkce je parabola. Kvadratická funkce je speciální příklad polynomu. Příklady kvadratických funkcí:
Vlastnosti kvadratické funkce | Více | Vlastnosti kvadratické funkceFunkce je kvadratická, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru f(x) = ax^2 + bx + c, kde a\neq 0. Definiční obor kvadratické funkce je celá množina reálných čísel. Kvadratická funkce nemá žádnou z následujících vlastností: prostá, periodická, rostoucí, klesající. Další vlastnosti závisí na tom, zda je kvadratický člen kladný či záporný:
Rovnice kuželoseček | Grafy kvadratických funkcí | Více | Grafy kvadratických funkcíKvadratickou funkci lze vyjádřit ve tvaru f(x) = ax^2 + bx + c, kde a\neq 0. Grafem kvadratické funkce je parabola. Tento graf zobrazuje funkci 0{,}5 x^2 + x - 4: ![]() Průsečíky s osou x jsou řešení kvadratické rovnice ax^2 + bx + c = 0. Pro výše uvedený příklad 0{,}5 x^2 + x - 4 jsou těmito řešeními x_1 = -4 a x_2 = 2. Kvadratický koeficient a ovlivňuje základní podobu paraboly:
![]() Konstantní člen c ovlivňuje posun paraboly – udává průsečík s osou y. ![]() Kvadratické rovnice | Více | Kvadratické rovniceKvadratická rovnice je rovnice, ve které se vyskytuje jedna neznámá ve druhé mocnině. Základní tvar kvadratické rovnice je: ax^2+bx+c=0, kde a, b, c jsou reálná čísla a a\neq 0. Pro kvadratické rovnice používáme následující názvosloví:
Příkladem kvadratické rovnice je 2x^2+6x-20 = 0. V této rovnici je kvadratický člen 2x^2, lineární člen 6x a absolutní člen -20. Kořeny této rovnice jsou 2 a -5. Speciální typy kvadratických rovnic: - Pokud je b=0 nazýváme rovnici ryze kvadratickou: ax^2+c=0. - Pokud je c=0 mluvíme o rovnici bez absolutního členu: ax^2+bx=0. Řešení kvadratické rovniceKaždou kvadratickou rovnici lze řešit pomocí výpočtu diskriminantu D. Pro něj platí: D=b^2-4\cdot a\cdot c. Mohou nastat 3 situace:
Pro kořeny rovnice platí:
Kvadratické rovnice můžeme řešit i bez počítání diskriminantu za využití Vietových vzorců. Pro kořeny rovnice platí: x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. V případě a=1: x_1+x_2=-b, x_1\cdot x_2=c. Příklad řešení kvadratické rovnice
Goniometrické funkce | Více | Goniometrické funkceGoniometrické funkce (nebo též trigonometrické funkce) je skupina funkcí, které dávají do vztahu úhel v pravoúhlém trojúhelníku a poměr dvou jeho stran. Goniometrické funkce mají široké využití v geometrii a mnoho praktických aplikací (například v navigaci, nebeské mechanice či geodézii). Goniometrické funkce souvisí s mnoha oblastmi matematiky, nejen s geometrií. Můžeme je potkat například u komplexních čísel či nekonečných řad. Základní goniometrické funkce jsou sinus, kosinus a tangents. Další jsou pak sekans, kosekans a kotangents. Inverzní funkce k funkcím goniometrickým se nazývají cyklometrické (např. arkus sinus, arkus tangents). Goniometrické funkce a pravoúhlý trojúhelník | Více | Goniometrické funkce a pravoúhlý trojúhelníkGoniometrické funkce můžeme v pravoúhlém trojúhelníku vyjádřit následovně:
![]() Hodnoty goniometrických funkcí | Více | Hodnoty goniometrických funkcíČasto používané hodnoty goniometrických funkcí ilustruje tento obrázek jednotkové kružnice – x-ová souřadnice bodu odpovídá hodnotě \cos z daného úhlu, y-ová souřadnice bodu odpovídá hodnotě \sin z daného úhlu. ![]() Goniometrické funkce: vztahy a vzorce | Více | Goniometrické funkce: vztahy a vzorcePro goniometrické funkce platí celá řada vztahů a vzorců. Výběr těch základních:
Vlastnosti goniometrických funkcí | Více | Vlastnosti goniometrických funkcíPro obě funkce \sin(x) a \cos(x) platí:
Pro funkci \sin(x) platí:
Pro funkci \cos(x) platí:
Pro funkci \tan(x) platí:
Grafy goniometrických funkcí | Více | Grafy goniometrických funkcíGrafy základních goniometrických funkcí![]() Dopad úprav funkce na graf![]() Obrázek ukazuje grafy několika úprav funkce \sin(x).
Exponenciální a logaritmické funkce | Vlastnosti exponenciálních a logaritmických funkcí | Grafy exponenciálních a logaritmických funkcí | |
Jednotky, míry | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Čas | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Hodiny: určování času | Více Hodiny: určování časuNa ručičkových hodinách máme 12 čárek. Čas určíme takto:
Jednotky času | Více | Jednotky časuNa rozdíl od jiných jednotek, běžně používané jednotky času nejsou násobky desítky a nevyužívají předpony typu mili-, deka-, kilo-.
Počítání s časem | Jednotky | Více | JednotkyVýznam předpon u zkratekU většiny veličin máme základní jednotku, ze které pomocí předpon odvozujeme další jednotky. Tyto předpony mají stejný význam u všech jednotek:
Toto systematické použití mocnin desítky je jedním z hlavních rysů metrického systému jednotek. Pokud vám převody jednotek přijdou komplikované, vězte, že mnohé jiné používané systémy jednotek jsou výrazně komplikovanější (např. 12 palců = 1 stopa, 3 stopy = 1 yard, 1760 yardů = 1 míle). S výjimkou USA se dnes ve většině světa používá metrický systém. Graficky znázorněný přehled převodů jednotek![]() Jednotky délky | Více | Jednotky délkyZkratky jednotek délkyZákladní jednotkou délky je metr, který má značku m. Délka jednoho metru odpovídá přibližně dlouhému kroku dospělého člověka, délce baseballové pálky nebo výšce kuchyňské linky. Další často používané jednotky jsou odvozeny od metru pomocí standardních předpon:
Základní převodyPřevody mezi jednotkami délky znázorňuje následující schéma a tabulka: ![]()
Další jednotky délkyKromě jednotek odvozených od metru, můžeme narazit také na další jednotky délky:
Příklady ze života
Jednotky hmotnosti | Více | Jednotky hmotnostiZákladní jednotkou hmotnosti je gram, který má značku g. Další často používané jednotky jsou odvozeny od gramu pomocí standardních předpon (mili, deka, kilo). Místo megagram (milión gramů, tisíc kilogramů) se používá název tuna. Další jednotky hmotnosti jsou například karát (200 mg), unce (28,4 g) nebo libra (0,45 kg, 16 uncí). Karát se používá v klenotnictví, libra a unce v angloamerické měrné soustavě. Zkratky jednotek hmotnosti
Základní převody![]()
PříkladyPřibližná váha některých věcí ze života:
Jednotky obsahu | Více | Jednotky obsahuZkratky jednotek obsahuObsah vyjadřuje velikost plochy. Základní jednotkou obsahu je metr čtvereční, což je plocha čtverce o straně délky 1 metr. Přehled dalších jednotek a jejich zkratek:
Základní převodyPřevody mezi jednotkami obsahu znázorňuje následující schéma a tabulka. Oproti jednotkám délky, u kterých při převodech vesměs násobíme (dělíme) číslem 10, u jednotek obsahu typicky násobíme (dělíme) číslem 100. ![]()
PříkladyPro základní představu o jednotkách obsahu poslouží přibližné přirovnání k objektům ze života:
Jednotky objemu | Více | Jednotky objemuObjem vyjadřuje velikost prostoru, kterou zabírá těleso. Jako jednotky objemu využíváme jednak „krychlové“ jednotky odvozené od jednotek délky – například metr krychlový je objem velikosti prostoru, který zabírá krychle o straně délky 1 metr (tato jednotka se lidově označuje také jako „kubík“). Dále pak používáme jednotky odvozené od litru, což je to stejné jako decimetr krychlový. Zkratky jednotek objemu
Základní převodyPřevody mezi jednotkami objemu znázorňuje následující schéma a tabulka: ![]()
Další jednotky objemuDalší jednotky objemu (používané např. v Británii a USA) jsou například pinta, galon a barel. Jednotky teploty | Více | Jednotky teplotyZákladní fyzikální jednotkou teploty (v soustavě SI) je kelvin (K) V běžném životě se ovšem používají po celém světě stupně Celsia (°C). Výjimku tvoří USA, kde se používají stupně Fahrenheita (°F). Stupně Celsia jsou zavedeny tak, že bod tání vody je 0 °C a bod varu vody je 100 °C. Jednotky: mix | Jednotky času | Více | Jednotky časuNa rozdíl od jiných jednotek, běžně používané jednotky času nejsou násobky desítky a nevyužívají předpony typu mili-, deka-, kilo-.
Peníze | |
Diskrétní matematika | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Množiny | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Množiny: pojmy a značení | Více Množiny: pojmy a značeníMnožina je soubor prvků. U množiny není důležité pořadí prvků a nezohledňuje opakované výskyty prvků. Následující množiny jsou tady všechny stejné:
Zápis množin | Více | Zápis množinDůležité číselné množiny mají v matematice svoje standardní označení:
Ostatní množiny zapisujeme dvěma hlavními způsoby: Zápis výčtem. Prostě vyjmenujeme prvky množiny a zapíšeme je pomocí složené závorky. Například M = \{3, 7, 9\} je trojprvková množina obsahující čísla 3, 7 a 9. Zápis pomocí charakteristické vlastnosti. Určíme, ze které množiny prvky vybíráme a jakou musí splňovat vlastnost. Například M = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 10\} je množina přirozených čísel menších než 10. Množinové operace | Více | Množinové operace
Znázornění množinových operací pomocí Vennových diagramů: ![]() Vlastnosti množin a množinových operací | Více | Vlastnosti množin a množinových operací
Vennovy diagramy | Více | Vennovy diagramyVennův diagram znázorňuje všechny možné vztahy několika množin. Vennův diagram znázorňuje prvky množin jako body v rovině a množiny jako plochy uvnitř křivek. Nejčastěji používané jsou Vennovy diagramy pro dvě a tři množiny, ve kterých jsou množiny znázorněny pomocí kruhů. Je možné ztvárnit Vennovy diagramy i pro více množin, ale k tomu již nevystačíme s kruhy (tyto diagramy nejsou přehledné a tudíž se příliš nevyužívají). Typický Vennův diagram pro tři množiny: ![]() Příklad s konkrétními prvky (množina A obsahuje červené útvary, množina B obsahuje kolečka, množina C obsahuje vyplněné útvary): ![]() Vennovy diagramy využíváme například pro názornou ilustraci množinových operací. Následující obrázek ilustruje B \cap (A \cup C): ![]() Množiny množin, potenční množina | Více | Množiny množin, potenční množinaMnožina prvkem množinyPrvkem množiny může být i jiná množina. S takovým prvkem pracujeme stejně jako s jinými prvky, jen se nesmíme nechat zmást. Příklad: Množina M = \{a, \{b, c, d, e\}, \emptyset\} obsahuje tři prvky:
Pozor na rozdíl mezi prázdnou množinou a množinou obsahující prázdnou množinu:
Potenční množinaPotenční množina množiny M obsahuje všechny podmnožiny množiny M. Potenční množinu značíme \mathcal{P}(M) (existují i další značení, například 2^M). Příklad: Pro množinu M = \{a, b, c\} jsou všechny její podmnožiny:
Potenční množina je množina všech těchto množin, tj. \mathcal{P}(M)=\{\{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}. Potenční množina množiny M vždy obsahuje jako svůj prvek samotnou množinu M. Každá potenční množina také obsahuje jako svůj prvek prázdnou množinu. Množiny: mix | Logika | Logika: pojmy a značení | Více | Logika: pojmy a značeníVýrokyVýrok je sdělení, u kterého má smysl otázka, zda je pravdivý, nebo nepravdivý, přičemž může nastat jen jedna z těchto možností. Příklady výroků:
Příklady vět, které nejsou výroky: Máš hlad? Běž do obchodu pro vajíčka. Logické spojky
Tautologie a kontradikceTautologie je výroková formule, která je vždy pravdivá. Příklady:
Kontradikce je výroková formule, která je vždy nepravdivá. Příkladem je formule A \wedge \neq A (zákon sporu). Formule je splnitelná pokud není kontradikcí. Vyhodnocování logických výrazů | Více | Vyhodnocování logických výrazůPravdivostní tabulka logických operací
Úpravy logických výrazů | Více | Úpravy logických výrazůPřepis implikace a ekvivalence
Negování složených výroků
Pravidla pro negaci disjunkce a konjunkce (2. a 3. řádek tabulky) se nazývají De Morganovy zákony. Kvantifikátory | Více | KvantifikátoryKvantifikátory
Příklady výroků s kvantifikátoryVlastnost Číslo x je sudé. můžeme vyjádřit jako Existuje celé číslo k takové, že x = 2\cdot k. To můžeme zapsat jako \exists k \in \mathbb{Z}: x = 2\cdot k. Výrok Ponorky (P) nemohou létat (L). můžeme zapsat jako \forall x: P(x) \Rightarrow \neg L(x). U složitejších výroků s více kvantifikátory musíme dávat na pořadí kvantifikátorů:
Negace výroků s kvantifikátoryPři negování výroků s kvantifikátory měníme existenční kvantifikátor na obecný (a naopak) a posouváme negaci „dovnitř“. Příklad:
Důkazy | Logika: mix | Kombinatorika | Kombinatorika: pojmy | Permutace, kombinace, variace | Více | Permutace, kombinace, variace
Příklady:
Počty permutací, kombinací a variací udává následující tabulka:
Kombinační čísla | Více | Kombinační číslaKombinační číslo udává počet kombinací, tj. způsobů, jak vybrat k prvků z n prvkové množiny. Kombinační čísla se vyskytují velmi často v kombinatorických výpočtech, a proto mají speciální značení \binom{n}{k} (čteme „n nad k“). Pro n \geq k \geq 0 platí: \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} Pro kombinační čísla platí řada dalších vztahů, například:
Příklady:
Kombinatorika: mix | Výrazy s faktoriálem a kombinačními čísly | Pravděpodobnost | Pravděpodobnost: pojmy a značení | Více | Pravděpodobnost: pojmy a značeníNáhodný jev je výsledek náhodného pokusu, o kterém lze po provedení pokusu rozhodnout, zda nastal nebo nenastal. Jeho typickým rysem je, že může, ale nemusí nastat. Pravděpodobnost jevu je míra očekávání, že jev nastane. Pravděpodobnost je číslo mezi 0 a 1. V běžném jazyce vyjadřujeme často pravděpodobnost v procentech, což je stonásobek pravděpodobnosti používané v matematice. Pojmy a značení
Příklad
Základní pravděpodobnost jevu | Opakované pokusy a složené jevy | Pravděpodobnost: mix | |