Přehled všech témat

Číselná osa znázorňuje čísla. Čísla jsou na ní vyznačena značkami. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme. Číselnou osu si můžeme představit jako procházku. Začínáme na startu, kterým je číslo nula, a každý krok vede na novou značku s novým číslem.

Jednoduchý příklad číselné osy, na které hledáme číslo 7:

Zaokrouhlování znamená, že vezmeme číslo a nahradíme jej za jiné, které má přibližně stejnou velikost, ale je „jednodušší“. Například číslo 96 můžeme zaokrouhlit na číslo 100. Zaokrouhlování nám umožňuje například provádět přibližné výpočty nebo snadněji komunikovat.

Zaokrouhlování na desítky znamená, že číslo nahradíme nejbližším násobkem desítky. Například k číslu 37 je nejbližší násobek desítky číslo 40 (má vzdálenost 3). U čísel, která končí cifrou 5, není takto definované zaokrouhlování jednoznačné, například číslo 35 má stejnou vzdálenost od čísel 30 a 40. Pro tyto případy je zavedeno pravidlo, které říká, že zaokrouhlujeme nahoru, tj. číslo 35 zaokrouhlujeme na 40. Zaokrouhlování na stovky funguje stejně, jen nahrazujeme číslo nejbližším násobkem stovky. Příklady:

• 44 zaokrouhleno na desítky je 40.

• 47 zaokrouhleno na desítky je 50.

• 165 zaokrouhleno na desítky je 170.

• 30 zaokrouhleno na desítky je 30 (číslo 30 už je násobek desítky, tak jej prostě necháme být).

• 487 zaokrouhleno na stovky je 500.

• 1842 zaokrouhleno na stovky je 1800.

• 850 zaokrouhleno na stovky je 900.

• 1111 zaokrouhleno na stovky je 1100.

Při písemném sčítání postupujeme následovně:

• Čísla si napíšeme pod sebe, zarovnaná doprava.
• Postupujeme z pravé strany.
• Vždy sečteme dvě čísla pod sebou a výsledek zapíšeme pod ně.
• Pokud je výsledek větší než 10, zapisujeme pouze číslo na pozici jednotek. Číslo na pozici desítek přenášíme dál doleva – přičteme jej v dalším sloupci.

Příklad 3728+436:

• Postupujeme zprava, tedy nejprve sečteme 8+6=14. Zapisujeme 4, 1 přenášíme dál.
• Dále sčítáme 2+3 a navíc přičteme 1 z předchozího sloupce. Zapisujeme 6.
• Dále sčítáme 7+4=11 (z předchozího sloupce nic nepřenášíme), zapisujeme 1 a 1 přenášíme.
• Dále už máme jen 3, z druhého čísla nám nic nezbylo. Přidáme ovšem ještě 1 z předchozího sloupce. Zapisujeme 4.
• Dostáváme výsledek 4164.

Při písemném odčítání postupujeme následovně:

• Čísla si napíšeme pod sebe, zarovnaná doprava.
• Postupujeme z pravé strany.
• Vždy odečteme dvě čísla pod sebou a výsledek zapíšeme pod ně.
• Pokud je horní číslo menší než spodní, tak si „půjčíme“ desítku a místo ní v dalším sloupci odečteme o 1 víc.

Příklad 3728-436:

• Postupujem zprava, tedy nejprve odečteme 8-6=2.
• V dalším sloupci odečítáme 2-3. Zde je 2 menší než 3, „půjčíme“ si desítku a počítáme 12-3=9.
• Dále odečítáme 7-4, musíme ale ještě odečíst 1 za půjčenou desítku z předchozího sloupce, tedy 7-4-1=2.
• V dalším sloupci již máme jen 3, od ní nemáme co odečíst.
• Výsledek je tedy 3292.

Násobení nám říká, kolik čtverečků má čokoláda, když víme, kolik má řádků a sloupců:

Násobení využíváme v matematice i v běžném životě velice často. Proto se velmi vyplatí naučit se základní násobky zpaměti. Malá násobilka zahrnuje vzájemné součiny čísel od 1 do 10. Ty můžeme přehledně vyjádřit tabulkou malé násobilky:

Při písemném násobení postupujeme následovně:

• Čísla si napíšeme pod sebe, zarovnaná doprava.
• Postupně jednotlivými ciframi spodního čísla pronásobíme celé horní číslo.
• Výsledky dílčích násobení zapisujeme na řádky pod sebe. Výsledky odsazujeme podle pozice cifry, kterou jsme násobili.
• Nakonec všechny dílčí výsledky sečteme (viz postup pro sčítání pod sebou).

Obrázek ukazuje příklad násobení čísel 79 a 68.

Když mám 8 jablíček a chci je rozdělit rovnoměrně do 4 košíků, kolik jablíček bude v každém košíku? Této otázce v matematice odpovídá dělení:

Zbytek po dělení je početní operace související s celočíselným dělením. Pokud dělíme a:b, pak můžeme psát a = k\cdot b + z, přičemž 0 \leq z < b. Číslo k nazýváme podíl, číslo z zbytek. Operace dělení se zbytkem se v matematice nazývá též modulo.

Příklad: 11:4 dává podíl 2 a zbytek 3, protože 11 = 2\cdot 4 + 3. Pokud mám 11 jablek a rozdělím je rovnoměrně do 4 košíků, v každém košíku budou 2 jablka a ještě mi 3 zbydou.

Další příklady:

• 17:5 dává zbytek 2, protože 17 = 3\cdot 5 + 2.
• 21:6 dává zbytek 3, protože 21 = 3\cdot 6 + 3.
• 12:7 dává zbytek 5, protože 12 = 1\cdot 7 + 5.
• 4:6 dává zbytek 4, protože 4 = 0\cdot 6 + 4.

Výrazy vyhodnocujeme v tomto pořadí:

1. závorky,
2. násobení a dělení,
3. sčítání a odčítání.

Příklady:

Číselná osa je přímka znázorňující čísla. Značkami jsou na ní vyznačená vybraná čísla – většinou celá čísla. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme.

Tradičně se na číselné ose píší menší čísla vlevo, větší čísla vpravo. Záporná čísla jsou tedy vlevo od nuly. Příklad číselné osy s vyznačenými hodnotami 7 a -7:

Při počítání se zápornými čísly často používáme princip „mínus a mínus dává plus“. Konkrétní příklady:

Absolutní hodnota čísla je jeho vzdálenost od nuly. Absolutní hodnotu čísla x značíme pomocí svislých čar: |x|. Pro kladné x je |x|=x, pro záporné x je |x| = -x. Příklady:

• |5| = 5
• |-5| = 5
• |-13| = 13
• |2{,}45| = 2{,}45

Při vyhodnocování výrazů, ve kterých se vyskytuje absolutní hodnota, nejdříve vyhodnotíme výraz uvnitř svislých čar (podobně jako u závorek) a pak aplikujeme samotnou absolutní hodnotu:

• 3 + |4-6| = 3 + |-2| = 3+2=5
• 5-3 \cdot |4-2| = 5 -3\cdot|2| = 5 -3\cdot2 = 5 - 6 = -1

Dáváme pozor na rozdíl mezi kulatou závorkou (která pouze vyznačuje přednost operací) a svislými čárami (které značí absolutní hodnotu):

• 3+(-2) = 3 - 2 = 1
• 3+|-2| = 3 + 2 = 5

Také dáváme dobrý pozor, kde se vyskytují znamínka mínus (před versus za svislou čárou):

• |-4| = 4
• -|4| = -4
• |-3-2| = |-5| = 5
• -|3-2| = -|1| = -1

Sudá čísla jsou celá čísla, která jsou beze zbytku dělitelná dvěma. Sudá čísla končí cifrou 0, 2, 4, 6 nebo 8. Příklady sudých čísel jsou 138, 12, 0, 9356, -34, 6.

Lichá čísla jsou celá čísla, která po dělení dvěma dávají zbytek jedna. Lichá čísla končí cifrou 1, 3, 5, 7 nebo 9. Příklady lichých čísel jsou 15, 891, -7, 1, 95.

Číslo a je dělitelné nenulovým celým číslem b právě tehdy, když a je celočíselným násobkem b, tj. a = k\cdot b. Jinými slovy: číslo a dává po dělení číslem b zbytek 0. Příklady:

• Číslo 15 je dělitelné číslem 5, protože 15 = 3\cdot 5.
• Číslo 25 není dělitelné číslem 4, protože 25 = 6\cdot 4 + 1 (zbytek není nulový).

Pro některé dělitele můžeme dělitelnost rozpoznat poměrně snadno:

Prvočíslo je přirozené číslo větší než 1, které je dělitelné pouze jedničkou a sebou samým.

Složené číslo je přirozená čísla větší než 1, které není prvočíslem, tj. má i jiného dělitele než jedničku a sebe samého.

Příklady:

• 6 je složené číslo, protože je dělitelné například číslem 2.
• 7 je prvočíslo, protože je dělitelné pouze čísly 1 a 7.
• 13 je prvočíslo, protože je dělitelné pouze čísly 1 a 13.
• 15 je složené číslo, protože je dělitelné například číslem 3.

Podle výše uvedené definice není číslo 1 prvočíslo ani složené číslo. To je běžná matematická konvence, protože to vede k elegantnější formulaci různých matematických výsledků. Existují ale i jiné přístupy k pojetí prvočíselnosti jedničky (vesměs historické).

Prvočísel je nekonečně mnoho. Prvočísla menší než 100 jsou: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Každé číslo lze rozložit jednoznačně na prvočíselný součin, např.

• 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3
• 30 = 2 \cdot 3\cdot 5
• 1638 = 2 \cdot 3^2\cdot 7\cdot 13

Největší společný dělitel (NSD) dvou celých čísel je největší číslo, které beze zbytku dělí obě čísla. Příklady: NSD(18, 24) = 6, NSD(12, 21) = 3, NSD(24, 35) = 1. Pojem největšího společného dělitele lze zobecnit i na větší počet vstupních čísel. Například NSD(30, 85, 90) = 5. Typickým využitím největšího společného dělitele je krácení zlomků. Pokud největší společný dělitel dvou čísel je 1, nazýváme je nesoudělná. Například čísla 15 a 32 jsou nesoudělná.

Pro malá čísla můžeme největšího společného dělitele určit tak, že si prostě vypíšeme všechny dělitele. Pokud hledáme NSD(18, 24) postupujeme takto:

• Dělitelé čísla 18 jsou 1, 2, 3, 6, 9, 18.
• Dělitelé čísla 24 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
• Společní dělitelé čísel 18 a 24 jsou 1, 2, 3, 6.
• Největší společný dělitel je 6.

Pro větší čísla můžeme největšího společného dělitele určit pomocí prvočíselného rozkladu. Obě čísla rozepíšeme jako součin prvočísel, výsledný NSD je součin prvočísel vyskytujících se v obou rozkladech umocněných na příslušné nejmenší exponenty.

• Příklad \mathit{NSD}(18, 24):
  • 18 = 2\cdot 3 \cdot 3 = 2\cdot3^2
  • 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 3 = 2^3\cdot 3
  • Společná část prvočíselného rozkladu: 2, 3.
  • \mathit{NSD}(90, 168) = 2\cdot 3 = 6
• Příklad \mathit{NSD}(540, 315):
  • 540 = 2\cdot 2\cdot3\cdot 3\cdot 3\cdot 5 = 2^2\cdot3^3\cdot 5
  • 315 = 3\cdot 3 \cdot 5\cdot 7 = 3^2 \cdot 5\cdot 7
  • Společná část prvočíselného rozkladu: 3, 3, 5
  • \mathit{NSD}(540, 315) = 3\cdot 3\cdot 5 = 3^2\cdot 5 = 45

Pro praktické výpočty se používají jiné algoritmy, především Euklidův algoritmus.

Nejmenší společný násobek (NSN) dvou celých čísel je nejmenší číslo, které je beze zbytku dělitelné oběma čísly. Příklady: NSN(12, 15) = 60, NSN(6, 8) = 24, NSN(3, 15) = 15. Pojem nejmenšího společného násobku lze zobecnit i na větší počet vstupních čísel. Například NSN(2, 3, 4) = 12. Typické využití nejmenšího společného násobku je při převodu zlomků na společného jmenovatele při sčítání zlomků.

Pro malá čísla můžeme nejmenší společný násobek najít tak, že si vypíšeme několik prvních násobků od obou čísel. Pokud hledáme NSN(12, 15), postupujeme takto:

• Násobky čísla 12 jsou 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, …
• Násobky čísla 15 jsou 15, 30, 45, 60, 75, 90, …
• Nejmenší společný násobek je první číslo, které se vyskytuje v obou seznamech. V tomto případě tedy 60.

Pro větší čísla můžeme nejmenší společný násobek nalézt pomocí prvočíselného rozkladu. NSN je roven součinu všech prvočísel, které se vyskytují alespoň v jednom rozkladu (v nejvyšší mocnině, v jaké se vyskytují).

Příklad \mathit{NSN}(24, 45):

• 24 = 2^3\cdot 3
• 45 = 3^2 \cdot 5
• \mathit{NSN}(24, 45) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360

Nejmenší společný násobek lze vypočítat také pomocí největšího společného dělitele (NSD): \mathit{NSN}(a, b) = \frac{a\cdot b}{\mathit{NSD}(a, b)}

Mocniny jsou zkráceným zápisem opakujícího se násobení. Příklady:

• 3^2 = 3\cdot 3 = 9
• 2^3 = 2\cdot 2 \cdot 2= 8
• 5^4 = 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 625

Při umocňování záporných čísel je výsledek kladný pro sudé mocniny, záporný pro liché mocniny.

• (-3)^2 = (-3)\cdot (-3) = 9
• (-3)^3 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3) = -27
• (-3)^4 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3) = 81

Nultá mocnina jakéhokoliv čísla je 1 (např. 5^0=1, 564^0=1). Nula umocněna na libovolné číslo je 0 (např. 0^3 = 0\cdot 0\cdot 0 = 0). Což vede na zajímavou otázku: Čemu se rovná 0^0?

Odmocňování v matematice je částečně inverzní (opačnou) operací k umocňování. Druhá odmocnina z čísla x je takové nezáporné číslo a, pro které platí a^2 = x. Druhou odmocninu značíme \sqrt{x}. Příklady:

• \sqrt{9} = 3, protože 3^2 = 9
• \sqrt{25} = 5, protože 5^2 = 25
• \sqrt{100} = 10, protože 10^2 = 100

Obecně pak n-tá odmocnina z x je takové číslo a, pro které platí a^n = x, n-tou odmocninu značíme \sqrt[n]{x}. Příklady:

• \sqrt[3]{125} = 5, protože 5^3 = 25
• \sqrt[5]{32} = 2, protože 2^5 = 32
• \sqrt[4]{10000} = 10, protože 10^4 = 10000

Odmocňování má i geometrický význam. Pokud máme čtverec o obsahu S, pak tento čtverec má délku strany rovnou druhé odmocnině \sqrt{S}. Pokud máme krychli o objemu V, pak tato krychle má délku hranu rovnou třetí odmocnině \sqrt[3]{V}. Odmocniny hojně využijeme například při aplikaci Pythagorovy věty.

Graf funkce odmocnina

Odmocnina a záporná čísla

Když hledáme odmocninu třeba z 25, tak hledáme číslo, které po umocnění dá 25. To splňuje 5\cdot 5, ale také (-5)\cdot (-5). Odmocnina je však definována jako nezáporné číslo, takže \sqrt{25} = 5.

Druhou odmocninu můžeme počítat pouze z kladných čísel, protože jakékoliv číslo umocněné na druhou je kladné. Odmocnina ze záporných čísel není definována. Nebo vlastně je, ale to musíme zavést komplexní čísla (což je velice zajímavý a užitečný nástroj, ale trochu pokročilý a ten tu nebudeme rozebírat).

Pro běžná reálná čísla můžeme počítat odmocniny za záporných čísel pro liché stupně n. Například:

• \sqrt[3]{-8} = -2, protože (-2)^3 = -8
• \sqrt[5]{-100000} = -10, protože (-10)^5 = -100000

Pro mocniny platí následující vztahy:

• x^0 = 1
• x^a \cdot x^b = x^{a+b}
• x^a : x^b = x^{a-b}
• (x^a)^b = x^{a\cdot b}
• (x\cdot y)^a = x^a\cdot y^a

Konkrétní příklady, která názorně ilustrují, proč uvedené vztahy platí:

• 7^3\cdot 7^2 = (7\cdot 7\cdot7) \cdot (7\cdot 7) = 7^{3+2} = 7^5
• 6^4: 6^2 = (6\cdot 6\cdot 6\cdot 6) : (6\cdot 6) = 6^{4-2} = 6^2
• (5^3)^2 = (5\cdot 5\cdot 5)^2 = (5\cdot 5\cdot 5) \cdot (5\cdot 5\cdot 5) = 5^{3\cdot 2} = 5^6
• (7\cdot 8)^3 = (7\cdot 8) \cdot (7\cdot 8) \cdot (7\cdot 8) = (7\cdot 7\cdot 7) \cdot (8\cdot 8\cdot 8) = 7^3 \cdot 8^3

Pro odmocniny platí následující vztahy (předpokládáme x, y > 0):

• \sqrt{0} = 0
• \sqrt{1} = 1
• \sqrt{x}\cdot \sqrt{x} = x
• \sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}
• \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}
• \sqrt[n]{x^k} = x^{\frac{k}{n}}
• \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[n\cdot m]{x}

Příklady:

• \sqrt{24} = \sqrt{4\cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}
• \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3
• \sqrt[3]{5^6} = 5^\frac63 = 5^2 = 25

Mocnina se záporným exponentem odpovídá převrácené hodnotě příslušné mocniny s kladným exponentem. Tedy vzorec. Toto pravidlo je důsledkem vlastnosti násobení vzorec. Musí tedy platit vzorec.

Konkrétní příklady:

• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec

Vědecký zápis čísel je zápis čísel pomocí součinu m\cdot 10^n, kde m je reálné číslo (mantisa) a 10^n je mocnina desítky. Tento zápis čísel je užitečný zejména při práci s velmi velkými nebo velmi malými čísly. Například hmotnost Země je přibližně 5970000000000000000000000 kg, což je daleko přehlednější v zápisu 5{,}97\cdot 10^{24} kg. Příklady:

Umocňování a odmocňování zlomku

Při umocňování (odmocňování) zlomku prostě umocníme (odmocníme) čitatele i jmenovatele:

• \large(\frac{2}{3}\large)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}

• \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

• \large(\frac{4}{5}\large)^{-1} = \frac{4^{-1}}{5^{-1}} = \frac{5}{4} (umocňování na -1 odpovídá prohození čitatele a jmenovatele)

Umocňování na zlomek

Umocňování na zlomek odpovídá tomu, že vezmeme mocninu podle čitatele a odmocninu podle jmenovatele, tj. x^\frac{a}{b} = \sqrt[b]{a^x}. Příklady:

• 2^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} = 1{,}587\ldots

• 4^\frac{1}{2} = \sqrt{4^1} = 2

• 81^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{81^3} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27

Logaritmus je inverzní operace k umocňování. Logaritmus kladného čísla x při základu a je takové reálné číslo y = \log_a(x), pro které platí a^y = x. Číslo a se nazývá základ logaritmu (báze).

Logaritmus o základu e=2{,}71828182... (Eulerovo číslo) se nazývá přirozený logaritmus a značí se většinou \ln.

Logaritmus o základu 10 se nazývá dekadický logaritmus (a někdy se značí \mathit{lg}).

Logaritmy mají velmi široké využití v mnoha oblastech matematiky. Historicky se využívali jako užitečná početní pomůcka („logaritmické pravítko“), která využívala faktu, že logaritmus součinu je součet logaritmů. Dnes na logaritmy často narazíme například v informatice při návrhu a analýze algoritmů.

Vlastnosti logaritmů:

• Logaritmus je definován pouze pro kladná čísla.
• Logaritmus o základu 1 není definován.
• Logaritmus součinu je součet logaritmů.
• Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů.
• Logaritmus je inverzní funkcí k exponenciální funkci o stejném základu.

Graf logaritmu o základu 2:

Logaritmus kladného čísla x při základu a je takové reálné číslo y = \log_a(x), pro které platí a^y = x. Příklady:

Některé základní vlastnosti logaritmů vyjádřené pomocí vzorců:

• \log_a(a)=1
• \log_a(1)=0
• \log_a(x\cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y) (logaritmus součinu je součet logaritmů)
• \log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y) (logaritmus podílu je rozdíl logaritmů)
• \log_a(x^k)=k\log_a(x)
• \log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}

Logaritmická rovnice je taková, kde neznámá vystupuje jako argument logaritmické funkce, např. 2 \cdot \log_6(x-2) = \log_6(14-x).

U logaritmických rovnic musíme dávat pozor na podmínky na řešení. Argument každého logaritmu totiž musí být vždy kladné číslo. V uvedeném příkladě tedy musí platit x-2>0 a současně 14-x > 0.

Logaritmické rovnice řešíme za využití vlastností logaritmické funkce a jejího vztahu k exponenciální funkci. Dílčí způsoby, jak řešit logaritmické rovnice:

• Převedeme rovnici na tvar \log_a f(x) = c. Pak musí platit f(x) = a^c.
• Převedeme rovnici na tvar \log_a f(x) = \log_a g(x). Pak musí platit f(x) = g(x).

Římské číslice představují způsob zápisu čísel pomocí písmen latinské abecedy. Na rozdíl od běžně používaného zápisu čísel (arabské číslice, desítková soustava) jde o nepoziční číselnou soustavu. Římské číslice nejsou vhodné pro matematické výpočty, například násobení v tomto zápisu je výrazně náročnější než v desítkové soustavě. Římské číslice se však stále používají, například pro uvádění letopočtů na památnících, na hodinách, pro číslování kapitol v knihách, ...

Základní římské číslice jsou I, V, X, L, C, D, M. Jejich hodnoty jsou následující:

Další čísla vytváříme spojováním a opakováním symbolů. Symboly řadíme za sebe podle velikosti. Pro zkrácení zápisu se využívá odčítání v případě, že menší symbol předchází větší. Příklady:

Pro základní představu u binárních číslech můžeme použít pomůcku, kterou máme vždy po ruce – totiž ruku samotnou. Představme si, že si na prsty ruky napíšeme mocniny dvojky:

Pak můžeme na prstech jedné ruky počítat nejen do pěti, ale až do třiceti jedné. Každé číslo lze totiž vyjádřit (jednoznačně) jako součet mocnin dvojky. Pokud polohu prstů zaznačíme pomocí nul a jedniček, dostaneme zápis v binární soustavě:

Číselná osa je přímka znázorňující čísla. Značkami jsou na ní vyznačená vybraná čísla – většinou celá čísla. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme. Jednoduchý příklad číselné osy, na které hledáme číslo 7:

Na základní číselné ose mají značky rozestup jedna. To však zdaleka neplatí vždy. Kdykoliv pracujeme s číselnou osou, musíme si nejdříve ujasnit, jaký je rozestup mezi značkami. To určíme na základě popisků. V následujícím příkladě je rozestup 10:

Číselná osa je přímka znázorňující čísla. Značkami jsou na ní vyznačená vybraná čísla – většinou celá čísla. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme.

Tradičně se na číselné ose píší menší čísla vlevo, větší čísla vpravo. Záporná čísla jsou tedy vlevo od nuly. Příklad číselné osy s vyznačenými hodnotami 7 a -7:

Zlomek můžeme na číselnou osu umístit tak, že ho převedeme na desetinné číslo (podělíme prostě čitatele jmenovatelem) a pak postupujeme stejně jako u desetinných čísel. Například \frac{6}{5} = 1{,}2, tj. zlomek \frac{6}{5} leží dvě desetiny za jedničkou. Další příklady:

Zlomky menší než 1 můžeme umisťovat na číselnou osu také přímo (bez převodu na desetinné číslo) díky představě „část z celku“. Pokud máme umístit zlomek \frac{3}{7}, představíme si, jak bychom rozdělili úsečku od 0 po 1 na sedm stejných dílků. Zlomek \frac{3}{7} pak umístíme na třetí pozici.

Hodí se vybudovat si dobrou představu zejména pro zlomky s malým jmenovatelem:

Číselná osa znázorňuje čísla. Čísla jsou na ní vyznačena značkami. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme. Číselnou osu si můžeme představit jako procházku. Začínáme na startu, kterým je číslo nula, a každý krok vede na novou značku s novým číslem.

Jednoduchý příklad číselné osy, na které hledáme číslo 7:

Podobně jako na jiných číselných osách, první krok je určit, jaké jsou rozestupy mezi značkami na číselné ose. Při práci s desetinnými čísly bývá často rozestup 0,1 (jedna desetina), ale nemusí to tak být nutně.

Příklad:

Zlomky zapisujeme ve tvaru \frac{a}{b}, kde a se nazývá čitatel a b jmenovatel. Aby měl zlomek smysl, nesmí být jmenovatel nula. Význam zlomku odpovídá dělení. Příklad: ve zlomku \frac32 je čitatelem číslo 3 a jmenovatelem číslo 2, hodnota zlomku \frac32 se rovná dělení 3:2 = 1{,}5 („jedna a půl“).

Rozšiřování a krácení

Hodnota zlomku se nemění rozšiřováním a krácením (nenulovým číslem c).

Příklady:

• Rozšíření zlomku \frac64 číslem 5: \frac64 = \frac{6\cdot 5}{4\cdot 5} = \frac{30}{20}.
• Krácení zlomku \frac64 číslem 2: \frac64 = \frac{6:2}{4:2} = \frac{3}{2}.

Základní tvar

Díky rozšiřování a krácení můžeme stejnou hodnotu zapsat nekonečně mnoha různými zlomky. Zlomek \frac{a}{b} je v základním tvaru, pokud jsou čísla a, b nesoudělná (tj. jejich jediný kladný společný dělitel je číslo 1). Příklady:

• Zlomek \frac64 není v základním tvaru, protože čísla 6 a 4 jsou soudělná (mají společného dělitele 2, kterým jde zlomek krátit).
• Zlomek \frac34 je v základním tvaru, protože čísla 3 a 4 jsou nesoudělná.

Zlomky vyjadřují „části z celku“. Můžeme je graficky vyjádřit mnoha způsoby:

Zlomek můžeme na číselnou osu umístit tak, že ho převedeme na desetinné číslo (podělíme prostě čitatele jmenovatelem) a pak postupujeme stejně jako u desetinných čísel. Například \frac{6}{5} = 1{,}2, tj. zlomek \frac{6}{5} leží dvě desetiny za jedničkou. Další příklady:

Zlomky menší než 1 můžeme umisťovat na číselnou osu také přímo (bez převodu na desetinné číslo) díky představě „část z celku“. Pokud máme umístit zlomek \frac{3}{7}, představíme si, jak bychom rozdělili úsečku od 0 po 1 na sedm stejných dílků. Zlomek \frac{3}{7} pak umístíme na třetí pozici.

Hodí se vybudovat si dobrou představu zejména pro zlomky s malým jmenovatelem:

Než se pustíme do porovnávání zlomků, je dobré mít jasno v tom, co je čitatel („to nahoře“) a jmenovatel („to dole“). Ve zlomku \frac{3}{7} je 3 čitatel, 7 jmenovatel.

Porovnávání zlomků se stejným jmenovatelem

Porovnávání zlomků se stejným jmenovatelem je jednoduché: stačí prostě porovnat čitatele. Pokud například porovnáváme zlomky \frac{3}{7} a \frac{5}{7}, je větší druhý zlomek. Oba zlomky vyjadřují sedminy z celku a je prostě víc, když máme sedmin pět.

Porovnávání zlomků se stejným čitatelem

Pokud mají zlomky stejného čitatele, pak stačí porovnat jmenovatele. V tomto případě je však pořadí zlomků opačné než pořadí jmenovatelů. Pokud porovnáváme třeba zlomky \frac{1}{4} a \frac{1}{5}, je větší jedna čtvrtina: dostanu větší kousek pizzy, pokud se bude dělit mezi 4 lidi, než když se bude dělit mezi 5 lidí.

Odlišný jmenovatel i čitatel

V tomto případě potřebujeme zlomky nejprve převést na společného jmenovatele a teprve následně provést porovnání podle čitatelů. Příklad: porovnání zlomků \frac{2}{3} a \frac{4}{7}. Nejmenší společný jmenovatel je 21, po rozšíření dostáváme dvojici zlomků \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 7}=\frac{14}{21} a \frac{4}{7}=\frac{4\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{12}{21}. Protože 14 > 12, je větší první zlomek, tj. \frac{2}{3}.

Porovnání bez výpočtu

Často můžeme provést porovnání i bez detailního výpočtu, pokud si zlomky správně představíme nebo porovnáme s vhodnou hodnotou „mezi“:

• Zlomky \frac{2}{3} a \frac{7}{6}. První z nich je menší než 1, druhý je větší než 1. Platí tedy \frac{2}{3} < \frac{7}{6}.

• Zlomky \frac{1}{3} a \frac{4}{5}. První z nich je určitě menší než polovina, druhý je výrazně větší než polovina. Platí tedy \frac{1}{3} < \frac{4}{5}.

Stejnou hodnotu můžeme vyjádřit mnoha zlomky, například \frac23 = \frac46 = \frac{10}{15} = \frac{200}{300}. Jen jedno možné vyjádření ovšem považujeme za základní tvar. Zlomek je v základním tvaru, pokud jsou čitatel a jmenovatel nesoudělní, tj. nemají žádného společného dělitele kromě jedničky. V uvedeném příkladě je v základním tvaru zlomek \frac23.

Jako krácení zlomku se označuje operace, kdy čitatele i jmenovatele vydělíme stejným, nenulovým číslem. Krácení zachovává hodnotu zlomku. Pokud chceme zlomek převést do základního tvaru, krátíme největším společným dělitelem čitatele a jmenovatele.

Příklady

• Zlomek \frac{15}{28} je v základním tvaru, protože čísla 15 a 28 nemají společného dělitele (jsou nesoudělná).

• Zlomek \frac{25}{30} můžeme krátit číslem 5, čímž dostaneme zlomek \frac{5}{6}, který je v základním tvaru.

• Zlomek \frac{12}{18} můžeme krátit číslem 2, čímž dostaneme zlomek \frac{6}{9}. Pokud chceme krátit na základní tvar, najdeme největšího společného dělitele čísel 12 a 18, což je 6. Po krácení číslem 6 dostáváme zlomek \frac{2}{3}.

Pokud je u zlomku jmenovatel větší než čitatel (zlomek je menší než jedna), označuje se zlomek jako pravý. Nepravé zlomky (tedy ty, které jsou větší jak jedna) můžeme zapsat pomocí smíšeného čísla. Smíšené číslo a\frac{b}{c} je zápis součtu a + \frac{b}{c}, kde \frac{b}{c} je kladný zlomek menší než jedna. Příklady:

• 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}
• 2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}

Převod smíšeného čísla na zlomek uděláme na základě pozorování, že jednotku můžeme zapsat jako \frac{c}{c}. Příklad: 3\frac14 = 3\cdot\frac44 + \frac14 = \frac{12}{4}+\frac14 = \frac{13}{4}.

Převod nepravého zlomku na smíšené číslo uděláme pomocí dělení se zbytkem. Celá část smíšeného čísla odpovídá podílu, čitatel zbylého zlomku odpovídá zbytku. Příklad:

• \frac{17}{3} = 5\frac23, protože 17:3 je 5 a zbytek 2.
• \frac{15}{7}= 2\frac17, protože 15:7 je 2 a zbytek 1.

Než se pustíme do sčítání zlomků, je dobré mít jasno v tom, co je čitatel („to nahoře“) a jmenovatel („to dole“). Ve zlomku \frac{3}{7} je 3 čitatel, 7 jmenovatel.

Sčítání zlomků se stejným jmenovatelem

Pokud mají sčítané zlomky stejného jmenovatele, stačí prostě sečíst čitatele. Jmenovatele necháme stejného, tedy \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.

Sčítání zlomků se různými jmenovateli

Pokud mají sčítané zlomky různého jmenovatele, musíme je nejprve rozšířit tak, aby měly stejného jmenovatele. Nejvýhodnější je rozšířit zlomky na nejmenší společný násobek původních jmenovatelů. Jakmile mají zlomky stejného jmenovatele, sečteme je výše uvedeným postupem.

Úpravy a odčítání

Výsledný zlomek většinou ještě krátíme, abychom dostali výsledek v základním tvaru. Odčítání zlomků funguje stejným způsobem.

Příklady

• Příklad se stejným jmenovatelem, bez nutnosti krácení:
  \frac{2}{5}+\frac{1}{5} = \frac{2+1}{5} = \frac{3}{5}.

• Příklad se stejným jmenovatelem, kdy výsledek krátíme:
  \frac{5}{6}-\frac{1}{6} = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

• Příklad s různými jmenovateli: \frac{5}{6} - \frac{3}{4}. Nejmenší společný násobek jmenovatelů 6 a 4 je 12, rozšíříme tedy zlomky na jmenovatele 12:
  \frac{5}{6} - \frac{3}{4} = \frac{5\cdot 2}{6\cdot 2} - \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}= \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12}

Násobení zlomků si můžeme představit skrze čokoládu. Pokud násobíme \frac45\cdot \frac23 je to jako bychom brali čtyři z pěti sloupečků a dva ze tří řádků. Kolik čtverečků čokolády takto vezmeme? Osm z patnácti, tedy \frac{8}{15}.

Při násobení zlomků tedy prostě vynásobíme čitatele prvního zlomku a čitatele druhého zlomku a dostaneme výsledný čitatel, podobně pro jmenovatele: \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}. Pokud si chceme ušetřit násobení velkých čísel, můžeme zlomky krátit, a to i „do kříže“. Příklady:

• \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{5} = \frac{2\cdot 1}{3\cdot 5}=\frac{2}{15}
• \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4} = \frac{2\cdot 3}{3\cdot 4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} (všimněte si, že neroznásobujeme, ale hned krátíme)

Dělení zlomků je to stejné jako násobení převráceným zlomkem: \frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}. Příklady:

• \frac13:\frac12 =\frac13\cdot \frac21 = \frac23
• \frac{2}{5}:\frac{3}{4}=\frac{2}{5}\cdot \frac{4}{3} = \frac{2\cdot 4}{5\cdot 3} = \frac{8}{15}

Umocňování a odmocňování zlomku

Při umocňování (odmocňování) zlomku prostě umocníme (odmocníme) čitatele i jmenovatele:

• \large(\frac{2}{3}\large)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}

• \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

• \large(\frac{4}{5}\large)^{-1} = \frac{4^{-1}}{5^{-1}} = \frac{5}{4} (umocňování na -1 odpovídá prohození čitatele a jmenovatele)

Umocňování na zlomek

Umocňování na zlomek odpovídá tomu, že vezmeme mocninu podle čitatele a odmocninu podle jmenovatele, tj. x^\frac{a}{b} = \sqrt[b]{a^x}. Příklady:

• 2^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} = 1{,}587\ldots

• 4^\frac{1}{2} = \sqrt{4^1} = 2

• 81^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{81^3} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27

Převod procent na zlomek v základním tvaru

Jedno procento je to stejné jako jedna setina, tj. \frac{1}{100}. Vynásobíme tedy číslo (udávající procenta) zlomkem \frac{1}{100} a následně zlomek vykrátíme (pomocí dělení největším společným dělitelem) na základní tvar. Příklady:

• 45\ \% = 45 \cdot \frac{1}{100} = \frac{45}{100} = \frac{5\cdot 9}{5\cdot 20}= \frac{9}{20}
• 12\ \% = 12 \cdot \frac{1}{100} = \frac{12}{100} = \frac{4\cdot 3}{4\cdot 25}= \frac{3}{25}

Převod zlomku na procenta

Chceme zlomek \frac{a}{b} vyjádřit jako p\ \%. Protože jedno procento je jedna setina, musí tedy platit \frac{a}{b} = \frac{p}{100}. Takže p = \frac{a}{b}\cdot 100. Stačí tedy zlomek vynásobit číslem 100. Příklady:

• \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \cdot 100\ \% = \frac{200}{5}\ \% = 40\ \%
• \frac{3}{20} = \frac{3}{20} \cdot 100\ \% = \frac{300}{20}\ \% = 15\ \%

Úpravy výrazů se zlomky provádíme stejnými základními postupy jako ostatní úpravy výrazů, pouze při tom používáme navíc operace specifické pro zlomky, např. krácení zlomků, sčítání a odčítání zlomků, násobení a dělení zlomků. Příklady úprav:

Rovnice se zlomky řešíme stejnými postupy jako základní rovnice, pouze při tom používáme operace se zlomky.

Často se můžeme operacím se zlomky vyhnout tak, že celou rovnici nejprve roznásobíme společným násobkem všech jmenovatelů zlomků.

Řešený příklad

Převod desetinného čísla na zlomek

Desetinné číslo roznásobíme pomocí mocniny desítky tak, abychom se „zbavili“ desetinné čárky. Následně zlomek vykrátíme (největším společným dělitelem), abychom dostali zlomek v základním tvaru. Příklady:

• 1{,}5 = 1{,}5\cdot \frac{10}{10} = \frac{1{,}5\cdot 10}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

• 1{,}25 = 1{,}25 \cdot \frac{100}{100} = \frac{1{,}25\cdot 100}{100} = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}

Počítání nám může usnadnit, když si zapamatujeme některé užitečné převody, s jejichž pomocí vhodné úvahy vyřešit i další příklady:

• 0{,}01 = \frac{1}{100}

• 0{,}1 = \frac{1}{10}

• 0{,}2 = \frac{1}{5}

• 0{,}25 = \frac{1}{4}

• 0{,}333\ldots = \frac{1}{3}

• 0{,}5 = \frac{1}{2}

Převod zlomku na desetinné číslo

Význam zlomku je prostě podíl čitatele a jmenovatele. Zlomek tedy vyjádříme jako desetinné číslo prostě tak, že podělíme čitatele jmenovatelem (může se hodit postup pro „dělení pod sebou“). Příklady:

• \frac{3}{4} = 3:4 = 0{,}75

• \frac{6}{5} = 6:5 = 1{,}2

• \frac{3}{20} = 3:20 = 0{,}15

Procento (%) je bezrozměrná jednotka vyjadřující jednu setinu celku. Například zápis „42 %“ (42 procent) je to stejné jako zlomek \frac{42}{100} nebo desetinné číslo 0,42.

Promile (‰) je jedna desetina procenta, tedy jedna tisícina celku.

Základní využití procent je pro vyjadření části celku, například:

• jaká část obyvatel pracuje v zemedělství,
• kolik studentů úspěšně splnilo zkoušku,
• kolik alkoholu obsahuje láhev vína.

Další oblasti využití procent jsou:

• vyjadřování pravděpodobnosti (jaká je šance, že bude zítra pršet),
• finanční vztahy (slevy, úroky),
• zpracování a prezentování statistických dat.

Pro dobré ovládnutí procent se hodí vybudovat si základní intuici o tom, co procenta znamenají a jak odpovídají jednotlivé hodnoty grafickému znázornění. Pro některé často se vyskytující hodnoty se hodí zapamatovat si význam zpaměti:

Pro počítání s procenty je nejdůležitější si uvědomit, že procento je jedna setina, tj. vzorec. Pokud tedy chceme vypočítat například „15 % z 300“, počítáme takto: vzorec.

Pro některá často se vyskytující procenta si můžeme výpočet usnadnit:

• 50 % = jedna polovina, tj. dělíme číslem 2
• 25 % = jedna čtvrtina, tj. dělíme číslem 4
• 10 % = jedna desetina, tj. dělíme číslem 10
• 90 % = bez jedné desetiny

Převod procent na zlomek v základním tvaru

Jedno procento je to stejné jako jedna setina, tj. \frac{1}{100}. Vynásobíme tedy číslo (udávající procenta) zlomkem \frac{1}{100} a následně zlomek vykrátíme (pomocí dělení největším společným dělitelem) na základní tvar. Příklady:

• 45\ \% = 45 \cdot \frac{1}{100} = \frac{45}{100} = \frac{5\cdot 9}{5\cdot 20}= \frac{9}{20}
• 12\ \% = 12 \cdot \frac{1}{100} = \frac{12}{100} = \frac{4\cdot 3}{4\cdot 25}= \frac{3}{25}

Převod zlomku na procenta

Chceme zlomek \frac{a}{b} vyjádřit jako p\ \%. Protože jedno procento je jedna setina, musí tedy platit \frac{a}{b} = \frac{p}{100}. Takže p = \frac{a}{b}\cdot 100. Stačí tedy zlomek vynásobit číslem 100. Příklady:

• \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \cdot 100\ \% = \frac{200}{5}\ \% = 40\ \%
• \frac{3}{20} = \frac{3}{20} \cdot 100\ \% = \frac{300}{20}\ \% = 15\ \%

Desetinné číslo je způsob zápisu čísla pomocí celé části a desetinné části, která je oddělená desetinnou čárkou. Například v zápisu 154,28 je 154 celou částí a 28 desetinnou částí. Na prvním místě za desetinou čárkou jsou desetiny, na druhém setiny, na třetím tisíciny.

Pomocí desetinných čísel vyjadřujeme čísla, která nejsou „celá“. Například pokud rozdělíme 6 koláčů spravedlivě mezi 4 děti, dostane každé dítě „jedna a půl“ koláče, což zapisujeme jako 1,5.

Poznámka k zápisu desetinných čísel: V češtině se používá desetinná čárka. V anglosaském světě se používá desetinná tečka, tj. místo 154,28 se píše 154.28. Tento způsob zápisu se používá ve výpočetní technice všude na světě.

Desetinná čísla můžeme číst mnoha různými způsoby. První je „přímočaré čtení“, kdy pouze místo „čárka“ říkáme „celá“. Desetinnou část můžeme přečíst jako jedno číslo, nebo vyjmenovat po cifrách:

Dále můžeme desetinné číslo přečíst pomocí desetin, setin, tisícin:

Někdy také desitinné číslo můžeme pojmenovat podle zlomku, který mu přísluší:

Při porovnávání desetinných čísel najdeme tu „nejdůležitější“ část, ve které se liší, a podle ní srovnání provedeme. Tedy nejprve porovnáváme celou část. Pokud jsou celé části shodné, porovnáváme desetiny, následně setiny, tisíciny a tak dále. Nezapomeneme též zkontrolovat znaménko, které má stejný vliv jako u celých čísel. Příklady:

• 15{,}3 < 17{,}9987 – liší se celá část, takže pro účely porovnání můžeme desetinná místa zcela ignorovat.

• 0{,}2 > 0{,}17 – celá část je stejná, rozhodujeme tedy podle desetin, kde 2>1. u příkladů tohoto typu se často chybuje, protože to vypadá, že 17 > 2, což je ovšem chybná úvaha. Pro lepší představu si můžeme doplnit nulu zprava: 0{,}20 > 0{,}17.

• 3{,}21 > -3{,}22 – zde vůbec nehrají roli desetinná místa, protože první číslo je kladné a druhé záporné.

• -4{,}2791 < -4{,}2758 – porovnávání provádíme podle cifer na pozici tisícin (9 a 5), výsledek je „naopak“, protože jde o záporná čísla.

Zaokrouhlování desetinných čísel funguje podobně jako zaokrouhlování celých čísel, pouze pracujeme i s částí za desetinnou čárkou. U desetinných čísel je téma zaokrouhlování obzvlášť důležité, protože se mu občas nemůžeme vyhnout – některá čísla v desítkové soustavě totiž nelze přesně zapsat, například \frac{1}{3} = 0{,}3333\ldots, \sqrt{2} = 1{,}4142\ldots, \pi = 3{,}14159\ldots

Zaokrouhlování na desetiny znamená, že číslo nahradíme nejbližším násobkem čísla 0,1 (tj. číslem s jednou cifrou za desetinnou čárkou). Zaokrouhlování na setiny znamená, že číslo nahradíme nejbližším násobkem čísla 0,01 (tj. číslem s dvěma ciframi za desetinnou čárkou). Podobně zaokrouhlujeme i s vyšší přesností. Stejně jako při zaokrouhlování celých čísel i u desetinných čísel zaokrouhluje čísla končící číslicí 5 nahoru. Příklady:

• 3,628 zaokrouhleno na desetiny je 3,6.

• 3,628 zaokrouhleno na setiny je 3,63.

• 12,25 zaokrouhleno na desetiny je 12,3.

• 4,8975 zaokrouhleno na celé číslo je 5.

• 84,15 zaokrouhleno na desítky je 80 (pozor na rozdíl mezi zaokrouhlováním na „desetiny“ a „desítky“).

Podobně jako na jiných číselných osách, první krok je určit, jaké jsou rozestupy mezi značkami na číselné ose. Při práci s desetinnými čísly bývá často rozestup 0,1 (jedna desetina), ale nemusí to tak být nutně.

Příklad:

Při sčítání a odčítání desetinných čísel postupujeme stejně jako při běžném sčítání a odčítání, pouze musíme mít čísla „zarovnaná“ podle desetinné čárky. Jako vhodná pomůcka (zejména při sčítání a odčítání pod sebou) může být doplnit si nuly zprava, aby obě čísla měla stejný počet cifer za desetinnou čárkou. Příklady:

• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec

Násobení desetinných čísel můžeme udělat následovně: 1) Obě čísla vynásobíme, jako kdyby desetinnou čárku vůbec neměla. 2) Do výsledku umístíme desetinnou čárku tak, aby měl výsledek tolik desetinných míst jako oba činitelé dohromady. Tento postup odpovídá násobení a následnému dělení mocninami desítky. Příklady:

• 5 \cdot 0{,}4 – násobíme 5\cdot 4 = 20, výsledek posuneme o 0+1=1 desetinné místo, dostáváme 2{,}0.

• 2{,}5 \cdot 0{,}05 – násobíme 25\cdot 5=125, výsledek posuneme o 1+2=3 desetinná místa, dostáváme 0,125.

• 0{,}9 \cdot 0{,}8 – násobíme 9\cdot 8=72, výsledek posuneme o 1+1=2 desetinná místa, dostáváme 0,72.

Výsledek je dobré zkontrolovat pomocí rychlého odhadu pomocí zaokrouhlených čísel. Například při násobení 0{,}9 \cdot 0{,}8 jsou oba činitelé „trochu menší než 1“, takže i výsledek by měl být „trochu menší než 1\cdot 1“, při násobení 4{,}92\cdot 3{,}06 můžeme snadno odhadnout, že výsledek by měl být přibližně 5\cdot 3=15.

Při dělení desetinných čísel se můžeme desetinné části snadno zbavit tak, že dělence i dělitele vynásobíme dostatečně velkou mocninou desítky. Následně pak čísla dělíme stejně jako přirozená čísla. Příklady:

• 8:0{,}2 = 80:2 = 40
• 1:0{,}05 = 100:5 = 20
• 2{,}5:2 = 25:20 = 1{,}25

Převod desetinného čísla na zlomek

Desetinné číslo roznásobíme pomocí mocniny desítky tak, abychom se „zbavili“ desetinné čárky. Následně zlomek vykrátíme (největším společným dělitelem), abychom dostali zlomek v základním tvaru. Příklady:

• 1{,}5 = 1{,}5\cdot \frac{10}{10} = \frac{1{,}5\cdot 10}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

• 1{,}25 = 1{,}25 \cdot \frac{100}{100} = \frac{1{,}25\cdot 100}{100} = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}

Počítání nám může usnadnit, když si zapamatujeme některé užitečné převody, s jejichž pomocí vhodné úvahy vyřešit i další příklady:

• 0{,}01 = \frac{1}{100}

• 0{,}1 = \frac{1}{10}

• 0{,}2 = \frac{1}{5}

• 0{,}25 = \frac{1}{4}

• 0{,}333\ldots = \frac{1}{3}

• 0{,}5 = \frac{1}{2}

Převod zlomku na desetinné číslo

Význam zlomku je prostě podíl čitatele a jmenovatele. Zlomek tedy vyjádříme jako desetinné číslo prostě tak, že podělíme čitatele jmenovatelem (může se hodit postup pro „dělení pod sebou“). Příklady:

• \frac{3}{4} = 3:4 = 0{,}75

• \frac{6}{5} = 6:5 = 1{,}2

• \frac{3}{20} = 3:20 = 0{,}15

Rovnice s desetinnými čísly řešíme stejnými postupy jako základní rovnice, pouze při tom máme na paměti pravidla pro sčítání, odčítání, násobení a dělení desetinných čísel. Často si můžeme řešení usnadnit tím, že celou rovnici vynásobíme deseti (případně vyšší mocninou desítky).

Řešený příklad

Nárys, bokorys a půdorys slouží k dvojrozměrnému zakreslení trojrozměrného objektu pomocí pravoúhlého promítání. Každý z nich zachycuje pohled na objekt z jiného směru:

• Nárys je pohled z přední strany.
• Bokorys je pohled z boční strany.
• Půdorys je pohled shora.

Síť krychle můžeme zakreslit 11 různými způsoby:

Síť tělesa je rovinné zakreslení, ze kterého jde poskládat plášť tělesa. Příklady sítí:

Síť tělesa jde většinou zakreslit mnoha různými způsoby. Síť krychle můžeme zakreslit takto:

Pro počet vrcholů v, hran h a stěn s konvexního mnohostěnu platí Eulerova věta: v - h + s = 2.

Počty vrcholů, stěn a hran pro pravidelné mnohostěny:

Pozn. Přesné definice rovnoramenného trojúhelníku se liší: někteří autoři vyžadují „alespoň“ dvě strany shodné, jiní „právě“ dvě strany shodné. Rozdíl je v tom, zda rovnostranné trojúhelníky považujeme za rovnoramenné.

Obsah značíme S. Obsah vyjadřuje, kolik „místa v rovině“ útvar zaujímá. Měří se v jednotkách obsahu.

Obvod značíme o. Obvod je součet délek čar, které útvar vymezují. Obvod se měří v jednotkách délky.

Přehled vzorců pro obsah a obvod základních geometrických útvarů:

Obvod u trojúhelníků a čtyřúhelníků je prostě součet délek jejich stran.

Vzorce

Obvod kruhu (i kružnice) o poloměru r je o=2\pi r. Pro průměr d platí o = \pi d.

Obsah kruhu o poloměru r je S=\pi r^2. Pro průměr d platí S = \frac{1}{4} \pi d^2.

Konstanta \pi se nazývá též Ludolfovo číslo. \pi je iracionální číslo, což znamená, že nejde vyjádřit zlomkem ani zapsat přesně v desítkové soustavě. Přibližná hodnota \pi je 3,14159265.

Při výpočtu obsahu a obvodu kruhu dáváme dobrý pozor na to, zda vycházíme ze znalosti poloměru nebo průměru. Záměna průměru za poloměr je častou chybou.

Intuice

Základní intuici za vzorci pro výpočet obsahu a obvodu kruhu přibližuje níže uvedený obrázek. Žluté čtverce mají obsah r^2. Oranžový čtverec se skládá ze čtyř žlutých čtverců, takže má obsah 4\cdot r^2. Kruh má „o trochu menší“ obsah než oranžový čtverec, což odpovídá tomu, že obsah kruhu je přibližně 3{,}14 \cdot r^2. Obvod oranžového čtverce je 8\cdot r. Obvod kruhu je opět „o trochu menší“ – je to 2\pi \cdot r \approx 6{,}3 \cdot r.

Příklady

• Mějme kruh o poloměru 3 cm. Jeho obvod je 2\pi \cdot 3 \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 3 \approx 18{,}8 cm. Jeho obsah je \pi \cdot 3^2 \approx 3{,}14\cdot 9 \approx 28,3 cm².
• Kružnice o průměru 2 cm má obvod \pi \cdot 2 \approx 6,3 cm. Její vnitřek má obsah \frac{1}{4} \pi \cdot 2^2 = \pi \approx 3,14 cm².
• Středový kruh na fotbalovém hřišti má poloměr 9{,}1 metru. Pokud jej chceme obejít po jeho okrajové čáře, ujdeme 2 \pi \cdot 9{,}1 \approx 57 metrů. Pokud bychom chtěli veškerou trávu v kruhu nabarvit na růžovo, museli bychom nabarvit \pi \cdot 9{,}1^2 \approx 260 m² trávy.

Objem tělesa vyjadřuje kolik místa v prostoru těleso zaujímá. Můžeme si jej představit jako množství vody, které bychom potřebovali, kdybychom chtěli těleso „napustit“. Pro vyjádření objemu využíváme jednotky objemu.

Povrch tělesa je součet obsahů všech ploch, které těleso ohraničují. Můžeme si jej představit jako velikost barevného papíru, který potřebujeme na „polepení“ tělesa. Pro vyjádření povrchu využíváme jednotky obsahu.

Značení ve vzorcích

Vzorce

Vzorce pro objem „hranatých“ těles vychází z obsahu podstavy a výšky tělesa.

Objem libovolného hranolu je součin obsahu podstavy a výšky: V=S_p\cdot v.

Kvádr a krychle jsou speciální případy hranolu, jejich podstava je obdélník (čtverec) a výška je zbývající hrana. Objem kvádru je tedy součin délek jeho hran: V = abc. Objem krychle vypočítáme stejným způsobem. Protože v krychli jsou všechny hrany stejně dlouhé, výraz se zjednoduší na V = a^3.

Objem jehlanu je jedna třetina součinu obsahu podstavy a výšky, tj. V=\frac{1}{3}S_p\cdot v. Pro pravidelný čtyřboký jehlan pak tedy V=\frac{1}{3} a^2v.

Příklady:

• Krychle o hraně 4 m má objem V = 4^3 = 64 m³.
• Kvádr s hranami 3, 6 a 10 cm má objem V = 3\cdot 6 \cdot 10 = 180 cm³.
• Pravidelný čtyřboký jehlan s podstavou hrany 6 cm a výškou 4 cm má objem V=\frac{1}{3} 6^2 \cdot 4 = 48 cm³.

Povrch „hranatých“ těles je prostě součet obsahů jednotlivých stran.

Hranol má dvě stejné podstavy a plášť, povrch je tedy S=2\cdot S_p+S_{pl}. Jehlan má jednu podstavu a plášť, povrch je tedy S=S_p+S_{pl}.

Stěny kvádru jsou obdélníky, přičemž vždy dvě jsou stejně velké. Povrch tedy vypočítáme jako S = 2(ab+ac+bc).

Krychle má šest stěn a všechny jsou tvořeny stejným čtvercem. Povrch je S=6a^2.

Objem „kulatých“ těles vypočítáme za využití konstanty \pi \approx 3{,}14159265. Ve vzorcích označuje r poloměr (koule či podstavy) a v výšku válce.

• Objem koule je V = \frac43 \pi r^3.
• Objem válce je obsah (kruhové) podstavy vynásobený výškou, tedy V = S_p \cdot v = \pi r^2 v.
• Objem kužele je jedna třetina obsahu podstavy vynásobeného výškou, tedy V = \frac13 S_p \cdot v = \frac13 \pi r^2 v.

Povrch „kulatých“ těles vypočítáme za využití konstanty \pi \approx 3{,}14159265. Ve vzorcích označuje r poloměr (koule či podstavy), v výšku válce, s stranu kužele.

• Povrch koule je S = 4\pi r^2.
• Povrch válce se skládá z podstavy (dvakrát) a pláště: S = 2\cdot \pi r^2 + 2\pi r v = 2\pi r (r+v).
• Povrch kužele se skládá z podstavy a pláště: S = \pi r^2 + \pi rs= \pi r(r+s).

Plný úhel je 360°. Často používané úhly ukazuje obrázek:

Dále využíváme pro zápis geometrických konstrukcí množinové operace, především průnik (\cap) a sjednocení (\cup).

Rovnoběžky jsou dvě přímky ležící ve stejné rovině, které se nikde neprotínají. Rovnoběžnost přímek p a q zapisujeme p \parallel q.

Kolmice je přímka, která protíná jinou přímku a svírá s ní úhel 90°. Kolmost přímek p a q zapisujeme p \perp q.

Dvě přímky, které jsou kolmé na nějakou třetí přímku a současně obě leží v jedné rovině, jsou rovnoběžky.

Osová souměrnost je dána přímkou o a přiřazuje každému bodu X mimo osu takový bod X', že přímka o je osou úsečky XX'. Jinými slovy: obraz má od osy stejnou vzdálenost jako původní bod a spojnice bodů je kolmá na osu. Osová souměrnost zachovává vzdálenosti i úhly, jde tedy o druh shodnosti.

Příklady

Modré a oranžové útvary jsou vzájemně osově souměrné podle osy o:

Pro lepší pochopení může být užitečné porovnat osovou a středovou souměrnost.

Osově souměrný útvar

Útvar označujeme za osově souměrný, pokud je v nějaké osové souměrnosti obrazem sebe sama. Osu této souměrnosti pak nazýváme osou útvaru. Obrázek uvádí příklady útvarů osově souměrných (zelené, s vyznačenými osami souměrnosti) i těch nesouměrných (červené):

Další příklady:

• Úsečka je osově souměrná a má v rovině jedinou osu souměrnosti (kolmici v jejím středu).
• Rovnoramenný trojúhelník je osově souměrný.
• Trojúhelník, který není rovnoramenný, není osově souměrný.
• Všechny pravidelné mnohoúhelníky jsou osově souměrné. Počet os souměrnosti je roven počtu vrcholů mnohoúhelníku.
• Kruh je osově souměrný a má nekonečně mnoho os souměrnosti.

Středová souměrnost je dána bodem S a přiřazuje každému bodu X takový bod X', že bod S je středem úsečky XX'. Jinými slovy: obraz má od středu stejnou vzdálenost jako původní bod a leží na polopřímce opačné k SX.

Středová souměrnost zachovává vzdálenosti i úhly, jde tedy o druh shodnosti. Středová souměrnost se středem v bodě S je shodná s otočením o 180 stupňů podle středu S.

Příklady

Modré a oranžové útvary jsou vzájemně středově souměrné podle středu S:

Pro lepší pochopení může být užitečné porovnat středovou a osovou souměrnost.

Středově souměrný útvar

Útvar označujeme za středově souměrný, pokud je v nějaké středové souměrnosti obrazem sebe sama. Střed této středové souměrnosti pak nazýváme středem souměrnosti objektu. Obrázek uvádí příklady útvarů středově souměrných (zelené, s vyznačeným středem souměrnosti) i těch nesouměrných (červené):

Další příklady:

• Úsečka, obdélník, čtverec, kosočtverec, pravidelný šestiúhelník a kruh jsou středově souměrné.

• Žádný trojúhelník není středově souměrný.

Pythagorova věta popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlého trojúhelníku. Věta zní: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad oběma jeho odvěsnami. Pythagorovu větu můžeme zapsat vztahem c^2 = a^2 + b^2, kde c označuje délku přepony pravoúhlého trojúhelníka a délky odvěsen jsou a, b.

Následující obrázek znázorňuje graficky znění věty a také „obrázkový důkaz“ této věty:

Platí i opačný směr: Pokud má trojúhelník strany délek a, b, c, které splňují rovnost c^2 = a^2 + b^2, pak musí jít o pravoúhlý trojúhelník s přeponou c.

Pythagorova věta umožňuje dopočítat délku třetí strany pravoúhlého trojúhelníka, u kterého známe délky dvou zbývajících stran:

• Délka odvěsny c = \sqrt{a^2 + b^2}. Pokud má pravoúhlý trojúhelník odvěsny délky 3 metry a 6 metrů, přepona má délku \sqrt{3^2+6^2} = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} \doteq 6,41 metrů.

• Délka přepony a = \sqrt{c^2-b^2}. Pokud má trojúhelník přeponu délky 8 metrů a jedna z odvěsen má délku 4 metry, druhá odvěsna má délku \sqrt{8^2-4^2} = \sqrt{64-16} = \sqrt{48} \doteq 6,93 metrů.

Pythagorejské trojice jsou trojice celých čísel, které splňují a^2+b^2=c^2, tj. trojúhelník s příslušnými délkami stran je pravoúhlý. Typickým příkladem Pythagorejské trojice je (3, 4, 5): 3^2 + 4^2 = 9+16 = 25 = 5^2.

Další příklady Pythagorejských trojic: (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (9, 40, 41). Mezi Pythagorejské trojice patří také všechny násobky těchto trojic, např. (6, 8, 10); (9, 12, 15); (10, 24, 26). Pokud si zapamatujeme některé základní Pythagorejské trojice, především nejjednodušší trojici (3, 4, 5), tak nám to může usnadnit výpočty.

Pythagorova věta má v geometrii velice široké využití, protože mnoho složitějších útvarů můžeme rozližit na pravoúhlé trojúhleníky.

Typickým příkladem aplikace Pythagorovy věty je výpočet délky uhlopříčky čtverce nebo výšky rovnostranného trojúhelníku:

Ve čtverci o straně a tvoří uhlopříčka přeponu pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami délky a. Pro délku uhlopříčky u tedy platí u^2 = a^2 + a^2. Po úpravách: u = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. Například čtverec o straně 10 cm tedy má uhlopříčku délky 10\cdot \sqrt{2} \doteq 14,1 metru.

V rovnostranném trojúhelníku o straně a tvoří výška odvěsnu pravoúhlého trojúhelníku s přeponou délky a a odvěsnou délky \frac{a}{2}. Pro délku výšky v tedy platí v^2 + \large(\frac{a}{2}\large)^2 = a^2. Po úpravách dostáváme v^2 = a^2 - \frac{a^2}{2^2} = \frac{3}{4}a^2, v = a\frac{\sqrt{3}}{2}. Například v rovnostranném trojúhelníku o straně 5 metrů má tedy výška délku \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 5 \doteq 4,33 metru.

Euklidovy věty jsou dvě tvrzení o vlastnostech pravoúhlého trojúhelníku.

Euklidova věta o výšce

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony:

v_c^2 = c_a\cdot c_b

Euklidova věta o odvěsně

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.

• a^2 = c\cdot c_a
• b^2 = c\cdot c_b

Algebraický výraz je tvořen z konstant („čísla“) a proměnných („písmenka“), které jsou dohromady spojeny pomocí algebraických operací (např. sčítání, násobení) a závorek. Proměnná zastupuje čísla z určitého oboru hodnot. Pomocí algebraických výrazů můžeme provádět obecné výpočty.

Příklad:

• Sedlák Sedloň má na dvorku p prasat a s slepic.
• Výraz 4\cdot p + 2 \cdot s vyjadřuje celkový počet nohou, která zvířata na dvorku mají.
• V tomto výrazu jsou čísla 4 a 2 konstanty, písmena p a s jsou proměnné, jejichž oborem jsou přirozená čísla.
• Výraz můžeme upravit do tvaru 2(2p+s). Tato úprava zachovává hodnotu výrazu pro všechna možná přiřazení hodnot proměnných.

Základní krok pro práci s algebraickými výrazy je dosazení hodnoty za proměnnou. Častým zdrojem chyb při dosazování jsou „mínuska“, dáváme si na ně tedy obzvlášť pozor.

Příklad:

Provádíme takové úpravy výrazů, které zachovávají hodnotu výrazu pro všechna možná dosazení za proměnné. Příklady úprav:

Pozor na častou chybu v případě odečtení závorky: nesmíme zapomenout, že „mínus a mínus dává plus“.

Provádíme takové úpravy výrazů, které zachovávají hodnotu výrazu pro všechna možná dosazení za proměnné. Příklady úprav:

Úpravy výrazů se zlomky provádíme stejnými základními postupy jako ostatní úpravy výrazů, pouze při tom používáme navíc operace specifické pro zlomky, např. krácení zlomků, sčítání a odčítání zlomků, násobení a dělení zlomků. Příklady úprav:

Lomený výraz má tvar zlomku, v jehož jmenovateli je mnohočlen (výraz s proměnnou). Příkladem lomeného výrazu je \frac{x+2}{x^2-1}. S lomenými výrazy počítáme podobně jako se zlomky.

U lomených výrazů je potřeba brát v potaz podmínky, za kterých má smysl. Lomený výraz má smysl pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je výraz ve jmenovateli různý od nuly. Příklady:

• Výraz \frac{x+5}{x-3} má smysl pro x \neq 3.
• Výraz \frac{x^3}{x^2-1} má smysl pro x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, protože x^2-1 = 0 pro hodnoty -1 a 1.
• Výraz \frac{x^3}{x^2+1} má smysl pro všechna reálná čísla, protože x^2+1 je vždy větší jak nula.

Rovnice s lomenými výrazy řešíme stejnými postupy jako základní rovnice.

Užitečným (avšak ne vždy nezbytným) prvním krokem bývá roznásobení obou stran rovnice společným násobkem všech jmenovatelů lomených výrazů.

Podmínky řešitelnosti

Aby lomený výraz dával smysl, nesmí být jmenovatel roven nule. Po vyřešení rovnice tedy musíme zkontrolovat, že výsledné řešení tuto podmínku splňuje pro všechny jmenovatele v rovnici.

Řešený příklad

Rovnice s neznámou x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde L(x), P(x) jsou výrazy s proměnnou x. L(x) je levá strana rovnice, P(x) je pravá strana rovnice. Řešit rovnici znamená najít všechny hodnoty proměnné x, pro které výrazy L(x) a P(x) nabývají stejné hodnoty. Tato čísla nazýváme kořeny rovnice. Výpočet hodnot L(x) a P(x) pro konkrétní x se nazývá zkouška.

Příklad: uvažme rovnici 2x-7 = 5-4x.

Rovnice dělíme podle typu výrazů, které se v nich objevují. Například:

• lineární rovnice obsahují pouze konstanty a násobky proměnné x, příkladem je 7- 2x = -1,

• kvadratické rovnice obsahují i druhou mocninu x, příkladem je x^2+x-2=0,

• logaritmické rovnice obsahují \log(x), příkladem je \log_2(1-x)=16,

• exponenciální rovnice obsahují umocňování, ve kterém je proměnná x v exponentu, příkladem je 3^x -3 = 6,

• goniometrické rovnice obsahují goniometrické funkce, příkladem je \sin(2x) = 1.

Rovnice řešíme ekvivalentními úpravami, což jsou úpravy, které nemění množinu kořenů rovnice. Mezi takové úpravy patří například:

• výměna levé a pravé strany rovnice,

• přičtení nebo odečtení stejného výrazu k oběma stranám rovnice,

• vynásobení nebo vydělení obou stran rovnice nenulovým číslem.

Nejjednodušší rovnice jako vzorec nebo vzorec vedou na jednokrokové řešení, tj. stačí provést jednu úpravu rovnice (např. odečtení čísla 2 od obou stran rovnice v prvním případě). Tyto rovnice lze vesměs řešit snadno i intutitivní úvahou (pro jaké číslo platí, že když k němu přičtu dvojku, dostanu pětku?). Slouží tak jako dobrý výchozí bod pro seznámení s tématem rovnic.

Nejjednodušší rovnice obsahují pouze lineární výrazy, tj. vyskytují se v nich pouze konstanty a násobky proměnné x. Rovnici upravujeme pomocí ekvivaletních úprav: přičítání a odčítání stejného výrazu k oběma stranám rovnice, úpravy výrazů na levé a pravé straně. Pomocí takových úprav ji převedeme do tvaru x = a, kde a je řešení.

Řešený příklad

Rovnici 2x-7 = 5-4x můžeme řešit těmito kroky:

Počet řešení

U základních lineárních rovnic mohou nastat tři případy:

• Rovnice nemá žádné řešení, např. x+2=x+3.
• Rovnice má nekonečně mnoho řešení, např. u rovnice x+1+x = 2x+1 je řešením rovnice je libovolné číslo.
• Rovnice má právě jedno řešení, např. výše uvedená rovnice 2x-7 = 5-4x má jediné řešení x=2.

Časté chyby

Mezi časté chyby při řešení rovnic patří:

• provední úpravy (přičtení čísla, vydělení čísel) pouze na jedné straně rovnice,
• chybné zkombinování konstant a výrazů s proměnnou x, např. úprava 3x + 2 na 5x,
• špatné znaménko u výrazu při převádění z jedné strany rovnice na druhou.

Rovnice se závorkami můžeme řešit stejným způsobem jako základní rovnice, pouze jako první krok odstraníme závorky. Například: rovnici 2(x+3) = 12 - x můžeme řešit takto:

V některých případech si však můžeme ušetřit práci, pokud závorky neroznásobíme. Například v rovnici 3(x+1) = 18 je výhodnější nejdříve rovnici podělit číslem 3, čímž dostaneme x+1 = 6, z čehož již snadno dostaneme x=5.

Pokud rovnice obsahuje zlomek, ve kterém se vyskytuje neznámá ve jmenovateli, musíme rovnici nejdříve vynásobit jmenovatelem (případně společným násobkem všech jmenovatelů). Tím rovnici převedeme na základní rovnici, kterou řešíme běžným postupem.

Řešený příklad

Rovnice se zlomky řešíme stejnými postupy jako základní rovnice, pouze při tom používáme operace se zlomky.

Často se můžeme operacím se zlomky vyhnout tak, že celou rovnici nejprve roznásobíme společným násobkem všech jmenovatelů zlomků.

Řešený příklad

Rovnice s desetinnými čísly řešíme stejnými postupy jako základní rovnice, pouze při tom máme na paměti pravidla pro sčítání, odčítání, násobení a dělení desetinných čísel. Často si můžeme řešení usnadnit tím, že celou rovnici vynásobíme deseti (případně vyšší mocninou desítky).

Řešený příklad

Rovnice s lomenými výrazy řešíme stejnými postupy jako základní rovnice.

Užitečným (avšak ne vždy nezbytným) prvním krokem bývá roznásobení obou stran rovnice společným násobkem všech jmenovatelů lomených výrazů.

Podmínky řešitelnosti

Aby lomený výraz dával smysl, nesmí být jmenovatel roven nule. Po vyřešení rovnice tedy musíme zkontrolovat, že výsledné řešení tuto podmínku splňuje pro všechny jmenovatele v rovnici.

Řešený příklad

Často máme rovnici s několika neznámými a potřebujeme vyjádřit jednu z nich. Typicky na takovou situaci narazíme ve fyzice. Máme třeba vzorec pro výpočet dráhy na základě času: s = \frac{1}{2}gt^2. Z této rovnice chceme vyjádřit čas v závislosti na dráze, tj. t = \sqrt{\frac{2s}{g}}.

Při řešení tohoto problému používáme stejné postupy jako při řešení rovnic s číselnými koeficienty, pouze místo přímých výpočtů provádíme úpravy výrazů.

Řešený příklad

Soustava dvou rovnic o dvou neznámých je podobná jako základní rovnice, jen máme místo jedné proměnné x navíc i proměnnou y a rovnice jsou dvě. Podobně jako rovnic o jedné proměnné můžeme mít celou řadu různých typů, i dvě rovnice o dvou neznámých mohou být lineární, kvadratické, logaritmické a jiné. Většinou se však procvičují pouze základní lineární rovnice. Pokud totiž dobře zvládneme jejich řešení, můžeme naučené postupy použít i na složitější rovnice. Základní metody řešení soustavy dvou rovnic jsou dosazovací metoda a sčítací metoda.

Dosazovací metoda

Při řešení dosazovací metodou vyjádříme z jedné rovnice jednu neznámou pomocí druhé. Toto vyjádření pak dosadíme do druhé rovnice, čímž dostaneme obyčejnou jednu rovnici o jedné neznámé. Ukázka postupu na uvedeném příkladě:

Sčítací metoda

Při řešení sčítací metodou sečteme (či odečteme) odděleně levé a pravé strany obou rovnic. Tato úprava vede k cíli, pokud nám při této operaci jedna z proměnných vypadne. V některých případech je proto nutné nejdříve jednu z rovnic vynásobit vhodným číslem. V případě naší ukázkové soustavy stačí rovnice prostě sečíst. Tím dostaneme 3x = 9, odtud x=3 a dosazením pak již dopočítáme y.

Kvadratická rovnice je rovnice, ve které se vyskytuje jedna neznámá ve druhé mocnině. Základní tvar kvadratické rovnice je: ax^2+bx+c=0, kde a, b, c jsou reálná čísla a a\neq 0. Pro kvadratické rovnice používáme následující názvosloví:

• ax^2 je kvadratický člen,
• bx je lineární člen,
• c je absolutní člen.

Příkladem kvadratické rovnice je 2x^2+6x-20 = 0. V této rovnici je kvadratický člen 2x^2, lineární člen 6x a absolutní člen -20. Kořeny této rovnice jsou 2 a -5.

Speciální typy kvadratických rovnic: - Pokud je b=0 nazýváme rovnici ryze kvadratickou: ax^2+c=0. - Pokud je c=0 mluvíme o rovnici bez absolutního členu: ax^2+bx=0.

Řešení kvadratické rovnice

Každou kvadratickou rovnici lze řešit pomocí výpočtu diskriminantu D. Pro něj platí: D=b^2-4\cdot a\cdot c. Mohou nastat 3 situace:

• D < 0 – rovnice nemá v reálných číslech řešení.
• D=0 – rovnice má jeden dvojnásobný kořen.
• D > 0 – rovnice má dva různé reálné kořeny.

Pro kořeny rovnice platí:

• x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}
• x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}

Kvadratické rovnice můžeme řešit i bez počítání diskriminantu za využití Vietových vzorců. Pro kořeny rovnice platí: x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. V případě a=1: x_1+x_2=-b, x_1\cdot x_2=c.

Příklad řešení kvadratické rovnice

• Řešíme rovnici x^2+2x-3=0.
• Pro tuto rovnici a=1, b=2, c=-3.
• Diskriminant D=b^2-4ac = 2^2-4\cdot 1\cdot(-3) = 4+12=16.
• D>0, rovnice má tedy dvě řešení.
• x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot 1} = 1
• x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1} = -3
• Kořeny rovnice jsou tedy 1 a -3.

Exponenciální rovnice má neznámou v exponentu (mocniteli), např. 3^{2x}-3^x=6.

Exponenciální rovnice lze řešit různými způsoby. Nejjednoduší je řešení rovnice se stejnými základy. Pokud se nám podaří rovnici převést na tvar a^{f(x)} = a^{g(x)}, můžeme se zbavit exponenciální funkce a řešit f(x) = g(x). Složitější způsoby řešení exponenciálních rovnic jsou logaritmování a substituce.

Logaritmická rovnice je taková, kde neznámá vystupuje jako argument logaritmické funkce, např. 2 \cdot \log_6(x-2) = \log_6(14-x).

U logaritmických rovnic musíme dávat pozor na podmínky na řešení. Argument každého logaritmu totiž musí být vždy kladné číslo. V uvedeném příkladě tedy musí platit x-2>0 a současně 14-x > 0.

Logaritmické rovnice řešíme za využití vlastností logaritmické funkce a jejího vztahu k exponenciální funkci. Dílčí způsoby, jak řešit logaritmické rovnice:

• Převedeme rovnici na tvar \log_a f(x) = c. Pak musí platit f(x) = a^c.
• Převedeme rovnici na tvar \log_a f(x) = \log_a g(x). Pak musí platit f(x) = g(x).

Přímá úměrnost

Přímá úměrnost je závislost veličiny y na druhé veličině x, kdy se při zvýšení veličiny x zvýší poměrně i hodnota veličiny y. Přímou úměrnost tedy můžeme popsat vztahem y=k\cdot x, kde k je konstanta úměrnosti. Grafem přímé úměrnosti je přímka, která prochází počátkem souřadnic (bodem [0, 0]). Příklady přímé úměrnosti:

• Nákup: Čím víc rohlíků koupím, tím víc zaplatím (konstanta úměrnosti je cena rohlíku).
• Vzdálenost: Čím déle se pohybuji, tím větší vzdálenost urazím (konstanta úměrnosti je rychlost, o přímou úměrnost se jedná pouze při pohybu konstantní rychlostí).
• Obvod: Čím delší strana čtverce, tím delší obvod čtverce (konstanta úměrnosti je 4).

Příklad výpočtu:

• Osm dračích vajec stojí 40 zlaťáků. Kolik stojí dvacet dračích vajec?
• Vypočítáme cenu za jedno vejce (konstanta úměrnosti k): 40:8 = 5 zlaťáků.
• Celkovou cenu vypočítáme prostým násobením (k\cdot x): 5\cdot 20 = 100 zlaťáků.

Nepřímá úměrnost

Nepřímá úměrnost je závislost veličiny y na druhé veličině x, kdy se při zvýšení veličiny x sníží poměrně hodnota veličiny y. Nepřímou úměrnost tedy můžeme popsat vztahem y=\frac{k}{x}. Grafem nepřímé úměrnosti je hyperbola. Příklady nepřímé úměrnosti:

• Doba práce a počet lidí: Čím více lidí pracuje na natírání plotu, tím rychleji je plot natřený.
• Dort a děti: Čím více dětí je na oslavě, tím menší kus dortu každé z nich dostane.
• Obdélník: Pokud uvažujeme obdélníky se stejným obsahem, pak mezi šířkou a výškou obdélníku platí nepřímá úměrnost.

Příklad výpočtu:

• Pětihlavý drak sní všechny zásoby na hradě za 12 dní. Za kolik dní sní zásoby šestihlavý drak?
• Nejdříve určíme, jak dlouho by jedla zásoby jedna hlava: 5\cdot 12=60 dní.
• Tento počet podělíme počtem hlav v otázce: 60:6 = 10 dní.

Slovní úlohy typu „myslím si číslo“ spočívají v tom, že si vypravěč myslí tajné číslo, řekne nám o něm informaci a my musíme číslo odhalit.

Příklad: Myslím si číslo. Když od něj odeberu 6 a výsledek vydělím dvěma, dostanu 2. Jaké číslo si myslím?

Jednoduché úlohy tohoto typu lze řešit úvahou z hlavy. Pro složitější úlohy se hodí zapsat úlohu pomocí rovnice.

Úlohy o směsích jsou speciální typ slovních úloh, ve kterých pracujeme se směsí dvou (nebo více) typů objektů, které mají trochu jiné vlasnosti. Může jít o směs roztoků, čokolád, zeleniny a nebo třeba tučňáků.

Příklad slovní úlohy o směsích: V Antarktidě žijí vedle sebe tučňáci císařští, kteří váží 35 kilogramů, a menší tučňáci kroužkoví, ti váží pouze 5 kilogramů. Včera objevilo 60 tučňáků obrovskou starou váhu ze ztroskotané nákladní obchodní lodi. Když na ni všichni vlezli, váha ukázala 840 kilogramů. Kolik bylo v objevitelské tučňáčí bandě tučňáků kroužkových?

Úlohy o směsích řešíme pomocí rovnic.

Úlohy o společné práci jsou speciální typ slovních úloh, ve kterých typicky vystupuje několik pracantů a máme za úkol určit, jak dlouho by jim trvala práce společně.

Příklad úlohy o společné práci: Na hodině bylinkářství v kouzelnické škole v Bradavicích žáci okopávali záhony s mandragorami. Nevillovi trvalo okopání záhonu 40 minut, Draco Malfoy zvládl stejně velký záhon za 24 minut. Kolik minut by jim trvalo okopání záhonu, kdyby na něm pracovali společně?

Úlohy o společné práci řešíme za využití nepřímé úměry a zlomků.

Posloupnost je sada objektů, ve kterých závisí na pořadí a objekty se mohou opakovat. Posloupnost může být konečná i nekonečná. Členy posloupnosti typicky zapisujeme pomocí indexů: a_n značí n-tý člen posloupnosti a.

Posloupnosti můžeme zapsat různými způsoby:

• výčtem členů: a = (7, 10, 13, 16, 19, 22)
• vzorcem pro n-tý člen: a_n = 4 + 3\cdot n
• rekurentně (začátek posloupnosti a způsob výpočtu dalších členů z předchozích): a_1 = 7, a_n = a_{n-1} + 3

Příklady:

• 8, 18, 28, 38, 48, 58, ... (aritmetická posloupnost s počáteční hodnotou 8 a diferencí 10)
• 3, 6, 12, 24, 48, 96, ... (geometrická posloupnost s počáteční hodnotou 3 a kvocientem 2)
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... (Fibonacciho posloupnost, a_n = a_{n-1} + a_{n-2})
• 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, ... (periodická posloupnost)

Existuje celá řada zajímavých posloupností. Mají dokonce svoji vlastní encyklopedii.

Aritmetická poslupnost je matematická posloupnost, ve které je stálý rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy. Tento rozdíl se obvykle značí d a nazývá diference.

• rekurentní vzorec: a_n = a_{n-1} + d
• vzorec pro n-tý člen: a_n = a_1+ (n-1)\cdot d
• příklady:
  • 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... (a_1=1, d=2)
  • 20, 17, 14, 11, 8, ... (a_1=20, d=-3)
  • 300, 305, 310, 315, 320, ... (a_1=300, d=5)

Geometrická poslupnost je matematická posloupnost, ve které je stálý poměr mezi dvěma po sobě jdoucími členy. Tento podíl se obvykle značí q a nazývá kvocient.

• rekurentní vzorec: a_n = q \cdot a_{n-1}
• vzorec pro n-tý člen: a_n = q^{n-1}\cdot a_1
• příklady:
  • 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (a_1=1, q=2)
  • 1000, 100, 10, 1, 0{,}1, 0{,}01, ... (a_1=1000, q=0,1)
  • 5, 15, 45, 135, 405, ... (a_1=5, q=3)
  • 8, -8, 8, -8, 8, -8, ... (a_1=8, q=-1)

Grafy základních typů funkcí:

Pozn. Pro zjednodušení popisu uvažujeme pouze funkce, jejichž definiční obor tvoří všechna reálná čísla.

Funkce f se nazývá sudá, právě když pro každé x je f(-x) = f(x). Graf sudé funkce je souměrný podle osy y. Příklady sudých funkcí: f_1(x) = x^2, f_2(x) = \cos(x), f_3(x) = x^4-3x^2+2.

Funkce f se nazývá lichá, právě když pro každé x je f(-x) = -f(x). Graf liché funkce je souměrný počátku. Příklady lichých funkcí: f_1(x) = 3x, f_2(x) = \sin(x), f_3(x) = x^3-2x.

Funkce f se nazývá periodická, právě když existuje číslo p != 0 (perioda funkce) takové, že pro každé x platí f(x+p)=f(x). Typickými příklady periodických funkcí jsou funkce goniometrické. Naopak třeba polynomy periodické nejsou (s výjimkou konstantní funkce).

Funkce f se nazývá zdola omezená, právě když existuje takové číslo k, že pro každé x platí f(x) \geq k. Funkce f se nazývá shora omezená, právě když existuje takové číslo k, že pro každé x platí f(x) \leq k. Funkce f se nazývá omezená, pokud je současně omezená shora i zdola. Příklady:

• Funkce f(x) = \sin(x) je omezená.
• Funkce f(x) = x^2 je omezená zdola (protože \forall x: f(x) \geq 0), ale není omezená shora.
• Funkce f(x) = 2x není omezená ani shora, ani zdola.

Funkce f se nazývá prostá, právě když pro každou dvojici x_1 \neq x_2 platí f(x_1) \neq f(x_2).

Funkce f se nazývá rostoucí, právě když pro každou dvojici x_1 < x_2 platí f(x_1) < f(x_2).

Funkce f se nazývá klesající, právě když pro každou dvojici x_1 > x_2 platí f(x_1) > f(x_2).

Souřadnice bodů většinou zapisujeme pomocí kartézské soustavy, která má jako osy dvě kolmé přímky. Vodorovná přímka se tradičně označuje x a souřadnice podél této osy se zapisuje první. Svislá přímka se tradičně označuje y a souřadnice podle této osy se zapisuje druhá.

Příklady:

Lineární funkci můžeme vždy zapsat ve tvaru f(x) = a\cdot x + b, kde a a b jsou konstanty. Parametr a je směrnice (též nazývaná sklon), parametr b je absolutní člen. Grafem lineární funkce je přímka, přičemž platí:

• Absolutní člen b udává „svislý posun“. Je to průsečík přímky s osou y. V uvedených příkladech je vyznačen oranžovou barvou.
• Směrnice a udává sklon přímky, což můžeme vyjádřit jako „o kolik jednotek na ose y se přímka posune za jednu jednotku na ose x“. V uvedených příkladech je směrnice vyznačena žlutou barvou.

Důležitá jsou znamínka (naznačená v obrázcích šipkami). Kladný absolutní člen znamená posun nahoru, záporný absolutní člen znamená posun dolů. Kladná směrnice znamená stoupající přímku, záporná směrnice znamená klesající přímku.

Kvadratickou funkci lze vyjádřit ve tvaru f(x) = ax^2 + bx + c, kde a\neq 0. Grafem kvadratické funkce je parabola. Tento graf zobrazuje funkci 0{,}5 x^2 + x - 4:

Průsečíky s osou x jsou řešení kvadratické rovnice ax^2 + bx + c = 0. Pro výše uvedený příklad 0{,}5 x^2 + x - 4 jsou těmito řešeními x_1 = -4 a x_2 = 2.

Kvadratický koeficient a ovlivňuje základní podobu paraboly:

• Pokud je a>0, „směřuje parabola nahoru“ (přesněji: je to zdola omezená, konvexní funkce).
• Pokud je a<0, „směřuje parabola dolů“ (přesněji: je to shora omezená, konkávní funkce).
• Velikost kvadratického koeficientu a ovlivňuje, jak je parabola „široká“.

Konstantní člen c ovlivňuje posun paraboly – udává průsečík s osou y.

Grafy základních goniometrických funkcí

Dopad úprav funkce na graf

Obrázek ukazuje grafy několika úprav funkce \sin(x).

Funkce f je lineární, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru f(x) = a\cdot x + b, kde a a b jsou konstanty. Grafem lineární funkce je přímka. Parametr a je směrnice (též nazývaná sklon), parametr b určuje její svislý posun (též nazývaný absolutní člen).

Příklady lineárních funkcí:

• f(x) = 2x
• f(x) = -4x+8
• f(x) = \frac13 x + 1{,2}

Aby byla funkce lineární, nemusí být nutně přímo zapsána ve tvaru f(x) = a\cdot x + b. Stačí, když jde na tento tvar upravit. Příklady:

• f(x) = 2-x můžeme přepsat jako f(x)= -1x + 2, což je lineární funkce se směrnicí -1 a absolutním členem 2.
• f(x) = 5(3-x) můžeme přepsat jako f(x)= -5x + 15, což je lineární funkce se směrnicí -5 a absolutním členem 15.
• f(x) = x^2 + 7 - x(x-1) vypadá na první pohled jako kvadratická funkce, ale můžeme ji upravit na f(x)= x + 7 (kvadratický člen se vyruší), takže jde o lineární funkci.

Funkce f je lineární, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru f(x) = a\cdot x + b, kde a a b jsou konstanty. Definiční obor lineární funkce je celá množina reálných čísel.

Speciálním případem lineární funkce je funkce konstantní. Tu dostáváme v případě, že a=0.

Pokud a \neq 0, pak pro lineární funkci platí:

• je prostá,
• není shora ani zdola omezená,
• nemá maximum ani minimum,
• není periodická,
• obor hodnot je množina reálných čísel.

Pro a>0 je funkce f rostoucí, pro a<0 je funkce f klesající.

Pro b=0 je funkce f lichá.

Grafem lineární funkce je přímka. Průsečík grafu s osou y je v bodě (0, b). Průsečík grafu s osou x je v bodě (-\frac{b}{a}, 0).

Nejjednodušší rovnice obsahují pouze lineární výrazy, tj. vyskytují se v nich pouze konstanty a násobky proměnné x. Rovnici upravujeme pomocí ekvivaletních úprav: přičítání a odčítání stejného výrazu k oběma stranám rovnice, úpravy výrazů na levé a pravé straně. Pomocí takových úprav ji převedeme do tvaru x = a, kde a je řešení.

Řešený příklad

Rovnici 2x-7 = 5-4x můžeme řešit těmito kroky:

Počet řešení

U základních lineárních rovnic mohou nastat tři případy:

• Rovnice nemá žádné řešení, např. x+2=x+3.
• Rovnice má nekonečně mnoho řešení, např. u rovnice x+1+x = 2x+1 je řešením rovnice je libovolné číslo.
• Rovnice má právě jedno řešení, např. výše uvedená rovnice 2x-7 = 5-4x má jediné řešení x=2.

Časté chyby

Mezi časté chyby při řešení rovnic patří:

• provední úpravy (přičtení čísla, vydělení čísel) pouze na jedné straně rovnice,
• chybné zkombinování konstant a výrazů s proměnnou x, např. úprava 3x + 2 na 5x,
• špatné znaménko u výrazu při převádění z jedné strany rovnice na druhou.

Lineární funkci můžeme vždy zapsat ve tvaru f(x) = a\cdot x + b, kde a a b jsou konstanty. Parametr a je směrnice (též nazývaná sklon), parametr b je absolutní člen. Grafem lineární funkce je přímka, přičemž platí:

• Absolutní člen b udává „svislý posun“. Je to průsečík přímky s osou y. V uvedených příkladech je vyznačen oranžovou barvou.
• Směrnice a udává sklon přímky, což můžeme vyjádřit jako „o kolik jednotek na ose y se přímka posune za jednu jednotku na ose x“. V uvedených příkladech je směrnice vyznačena žlutou barvou.

Důležitá jsou znamínka (naznačená v obrázcích šipkami). Kladný absolutní člen znamená posun nahoru, záporný absolutní člen znamená posun dolů. Kladná směrnice znamená stoupající přímku, záporná směrnice znamená klesající přímku.

Funkce je kvadratická, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru f(x) = ax^2 + bx + c, kde a\neq 0. Funkce je ryze kvadratická, pokud nemá lineární člen (tj. b=0). Grafem kvadratické funkce je parabola. Kvadratická funkce je speciální příklad polynomu.

Příklady kvadratických funkcí:

• f(x) = x^2
• f(x) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
• f(x) = -3x^2 + 2x -8

Funkce je kvadratická, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru f(x) = ax^2 + bx + c, kde a\neq 0.

Definiční obor kvadratické funkce je celá množina reálných čísel.

Kvadratická funkce nemá žádnou z následujících vlastností: prostá, periodická, rostoucí, klesající.

Další vlastnosti závisí na tom, zda je kvadratický člen kladný či záporný:

• Pro a>0 je funkce zdola omezená, není shora omezaná. V bodě -\frac{b}{2a} má minimum.
• Pro a<0 je funkce shora omezená, není zdola omezaná. V bodě -\frac{b}{2a} má maximum.

Kvadratickou funkci lze vyjádřit ve tvaru f(x) = ax^2 + bx + c, kde a\neq 0. Grafem kvadratické funkce je parabola. Tento graf zobrazuje funkci 0{,}5 x^2 + x - 4:

Průsečíky s osou x jsou řešení kvadratické rovnice ax^2 + bx + c = 0. Pro výše uvedený příklad 0{,}5 x^2 + x - 4 jsou těmito řešeními x_1 = -4 a x_2 = 2.

Kvadratický koeficient a ovlivňuje základní podobu paraboly:

• Pokud je a>0, „směřuje parabola nahoru“ (přesněji: je to zdola omezená, konvexní funkce).
• Pokud je a<0, „směřuje parabola dolů“ (přesněji: je to shora omezená, konkávní funkce).
• Velikost kvadratického koeficientu a ovlivňuje, jak je parabola „široká“.

Konstantní člen c ovlivňuje posun paraboly – udává průsečík s osou y.

Kvadratická rovnice je rovnice, ve které se vyskytuje jedna neznámá ve druhé mocnině. Základní tvar kvadratické rovnice je: ax^2+bx+c=0, kde a, b, c jsou reálná čísla a a\neq 0. Pro kvadratické rovnice používáme následující názvosloví:

• ax^2 je kvadratický člen,
• bx je lineární člen,
• c je absolutní člen.

Příkladem kvadratické rovnice je 2x^2+6x-20 = 0. V této rovnici je kvadratický člen 2x^2, lineární člen 6x a absolutní člen -20. Kořeny této rovnice jsou 2 a -5.

Speciální typy kvadratických rovnic: - Pokud je b=0 nazýváme rovnici ryze kvadratickou: ax^2+c=0. - Pokud je c=0 mluvíme o rovnici bez absolutního členu: ax^2+bx=0.

Řešení kvadratické rovnice

Každou kvadratickou rovnici lze řešit pomocí výpočtu diskriminantu D. Pro něj platí: D=b^2-4\cdot a\cdot c. Mohou nastat 3 situace:

• D < 0 – rovnice nemá v reálných číslech řešení.
• D=0 – rovnice má jeden dvojnásobný kořen.
• D > 0 – rovnice má dva různé reálné kořeny.

Pro kořeny rovnice platí:

• x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}
• x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}

Kvadratické rovnice můžeme řešit i bez počítání diskriminantu za využití Vietových vzorců. Pro kořeny rovnice platí: x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. V případě a=1: x_1+x_2=-b, x_1\cdot x_2=c.

Příklad řešení kvadratické rovnice

• Řešíme rovnici x^2+2x-3=0.
• Pro tuto rovnici a=1, b=2, c=-3.
• Diskriminant D=b^2-4ac = 2^2-4\cdot 1\cdot(-3) = 4+12=16.
• D>0, rovnice má tedy dvě řešení.
• x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot 1} = 1
• x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1} = -3
• Kořeny rovnice jsou tedy 1 a -3.

Goniometrické funkce (nebo též trigonometrické funkce) je skupina funkcí, které dávají do vztahu úhel v pravoúhlém trojúhelníku a poměr dvou jeho stran. Goniometrické funkce mají široké využití v geometrii a mnoho praktických aplikací (například v navigaci, nebeské mechanice či geodézii). Goniometrické funkce souvisí s mnoha oblastmi matematiky, nejen s geometrií. Můžeme je potkat například u komplexních čísel či nekonečných řad.

Základní goniometrické funkce jsou sinus, kosinus a tangents. Další jsou pak sekans, kosekans a kotangents.

Inverzní funkce k funkcím goniometrickým se nazývají cyklometrické (např. arkus sinus, arkus tangents).

Goniometrické funkce můžeme v pravoúhlém trojúhelníku vyjádřit následovně:

• Sinus (\sin) úhlu \alpha je poměr délky odvěsny protilehlé úhlu \alpha a délky přepony.
• Kosinus (\cos) úhlu \alpha je poměr délky odvěsny přilehlé úhlu \alpha a délky přepony.
• Tangens (\tan) úhlu \alpha je poměr délky odvěsny protilehlé úhlu \alpha a délky odvěsny přilehlé úhlu \alpha.

Často používané hodnoty goniometrických funkcí ilustruje tento obrázek jednotkové kružnice – x-ová souřadnice bodu odpovídá hodnotě \cos z daného úhlu, y-ová souřadnice bodu odpovídá hodnotě \sin z daného úhlu.

Pro goniometrické funkce platí celá řada vztahů a vzorců. Výběr těch základních:

• Záporné hodnoty úhlů:
  • \sin(-x) = -\sin(x) (lichá funkce)
  • \cos(-x) = \cos(x) (sudá funkce)
  • \tan(-x) = -\tan(x) (sudá funkce)
• Posuny:
  • \sin(x+2\pi) = \sin(x) (perioda 2\pi)
  • \sin(x+\pi) = -\sin(x)
  • \sin(x+\frac{\pi}{2}) = \cos(x)
• Součtové vzorce goniometrických funkcí:
  • \sin(x+y) = \sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)
  • \sin(x-y) = \sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y)
  • \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)
  • \cos(x-y) = \cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)
• Dvojnásobný argument:
  • \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)
  • \cos(2x) = \cos^2(x)-\sin^2(x)
  • \tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}

Pro obě funkce \sin(x) a \cos(x) platí:

• definiční obor je množina reálných čísel,
• obor hodnot je interval \langle -1, 1 \rangle,
• funkce je omezená,
• funkce je periodická s periodou 2\pi,
• funkce není prostá.

Pro funkci \sin(x) platí:

• je lichá,
• nulové hodnoty nabývá v bodech x=k\pi.

Pro funkci \cos(x) platí:

• je sudá,
• nulové hodnoty nabývá v bodech x=(2k+1)\frac{\pi}{2}.

Pro funkci \tan(x) platí:

• definiční obor je \{x \in \mathbb{R}: x \neq (2k+1)\frac{\pi}{2} \},
• obor hodnot je množina reálných čísel,
• funkce je lichá,
• funkce je periodická s periodou \pi,
• funkce je neomezená,
• nulové hodnoty nabývá v bodech x=k\pi.

Grafy základních goniometrických funkcí

Dopad úprav funkce na graf

Obrázek ukazuje grafy několika úprav funkce \sin(x).

Na ručičkových hodinách máme 12 čárek. Čas určíme takto:

• Malá ručička značí hodiny. Každá čárka na hodinách značí 1 hodinu.
• Velká ručička značí minuty. Každá čárka na hodinách značí 5 minut. Počet minut je tedy číslo mezi 0 a 60.

Na rozdíl od jiných jednotek, běžně používané jednotky času nejsou násobky desítky a nevyužívají předpony typu mili-, deka-, kilo-.

Význam předpon u zkratek

U většiny veličin máme základní jednotku, ze které pomocí předpon odvozujeme další jednotky. Tyto předpony mají stejný význam u všech jednotek:

Toto systematické použití mocnin desítky je jedním z hlavních rysů metrického systému jednotek. Pokud vám převody jednotek přijdou komplikované, vězte, že mnohé jiné používané systémy jednotek jsou výrazně komplikovanější (např. 12 palců = 1 stopa, 3 stopy = 1 yard, 1760 yardů = 1 míle). S výjimkou USA se dnes ve většině světa používá metrický systém.

Graficky znázorněný přehled převodů jednotek

Zkratky jednotek délky

Základní jednotkou délky je metr, který má značku m. Délka jednoho metru odpovídá přibližně dlouhému kroku dospělého člověka, délce baseballové pálky nebo výšce kuchyňské linky.

Další často používané jednotky jsou odvozeny od metru pomocí standardních předpon:

Základní převody

Převody mezi jednotkami délky znázorňuje následující schéma a tabulka:

Další jednotky délky

Kromě jednotek odvozených od metru, můžeme narazit také na další jednotky délky:

• anglo-americké jednotky: palec (= 25,4 mm), stopa (= 12 stop = 30,48 cm), yard (= 3 stopy = 0,91 m), míle (= 1,6 km),
• jednotky používané v astronomii: světelný rok (10 bilionů km), parsec (3,8\cdot 10^{16} m)
• historické jednotky (dnes používané pouze v literatuře): sáh (odvozen od rozpětí rukou člověka, asi 1,8 metru), loket (asi 60 cm).

Příklady ze života

Základní jednotkou hmotnosti je gram, který má značku g. Další často používané jednotky jsou odvozeny od gramu pomocí standardních předpon (mili, deka, kilo). Místo megagram (milión gramů, tisíc kilogramů) se používá název tuna.

Další jednotky hmotnosti jsou například karát (200 mg), unce (28,4 g) nebo libra (0,45 kg, 16 uncí). Karát se používá v klenotnictví, libra a unce v angloamerické měrné soustavě.

Zkratky jednotek hmotnosti

Základní převody

Příklady

Přibližná váha některých věcí ze života:

Zkratky jednotek obsahu

Obsah vyjadřuje velikost plochy. Základní jednotkou obsahu je metr čtvereční, což je plocha čtverce o straně délky 1 metr. Přehled dalších jednotek a jejich zkratek:

Základní převody

Převody mezi jednotkami obsahu znázorňuje následující schéma a tabulka. Oproti jednotkám délky, u kterých při převodech vesměs násobíme (dělíme) číslem 10, u jednotek obsahu typicky násobíme (dělíme) číslem 100.

Příklady

Pro základní představu o jednotkách obsahu poslouží přibližné přirovnání k objektům ze života:

Objem vyjadřuje velikost prostoru, kterou zabírá těleso. Jako jednotky objemu využíváme jednak „krychlové“ jednotky odvozené od jednotek délky – například metr krychlový je objem velikosti prostoru, který zabírá krychle o straně délky 1 metr (tato jednotka se lidově označuje také jako „kubík“). Dále pak používáme jednotky odvozené od litru, což je to stejné jako decimetr krychlový.

Zkratky jednotek objemu

Základní převody

Převody mezi jednotkami objemu znázorňuje následující schéma a tabulka:

Další jednotky objemu

Další jednotky objemu (používané např. v Británii a USA) jsou například pinta, galon a barel.

Základní fyzikální jednotkou teploty (v soustavě SI) je kelvin (K) V běžném životě se ovšem používají po celém světě stupně Celsia (°C). Výjimku tvoří USA, kde se používají stupně Fahrenheita (°F).

Stupně Celsia jsou zavedeny tak, že bod tání vody je 0 °C a bod varu vody je 100 °C.

Na rozdíl od jiných jednotek, běžně používané jednotky času nejsou násobky desítky a nevyužívají předpony typu mili-, deka-, kilo-.

Množina je soubor prvků. U množiny není důležité pořadí prvků a nezohledňuje opakované výskyty prvků. Následující množiny jsou tady všechny stejné:

• \{\square, \bigcirc, \triangle\}
• \{\bigcirc, \triangle, \square\}
• \{\square, \square, \square, \bigcirc, \bigcirc, \triangle\}

Důležité číselné množiny mají v matematice svoje standardní označení:

Ostatní množiny zapisujeme dvěma hlavními způsoby:

Zápis výčtem. Prostě vyjmenujeme prvky množiny a zapíšeme je pomocí složené závorky. Například M = \{3, 7, 9\} je trojprvková množina obsahující čísla 3, 7 a 9.

Zápis pomocí charakteristické vlastnosti. Určíme, ze které množiny prvky vybíráme a jakou musí splňovat vlastnost. Například M = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 10\} je množina přirozených čísel menších než 10.

Znázornění množinových operací pomocí Vennových diagramů:

• Každá množina je svou podmnožinou: A\subseteq A.
• Množina nemůže být svou vlastní podmnožinou.
• Prázdná množina je podmnožina jakékoliv množiny: \emptyset \subseteq A.
• Prázdná množina nemá žádnou vlastní podmnožinu.
• A \subseteq A \cup B
• A \cap B \subseteq A
• A \subseteq A \wedge B \subseteq A \Leftrightarrow A=B

Vennův diagram znázorňuje všechny možné vztahy několika množin. Vennův diagram znázorňuje prvky množin jako body v rovině a množiny jako plochy uvnitř křivek. Nejčastěji používané jsou Vennovy diagramy pro dvě a tři množiny, ve kterých jsou množiny znázorněny pomocí kruhů. Je možné ztvárnit Vennovy diagramy i pro více množin, ale k tomu již nevystačíme s kruhy (tyto diagramy nejsou přehledné a tudíž se příliš nevyužívají).

Typický Vennův diagram pro tři množiny:

Příklad s konkrétními prvky (množina A obsahuje červené útvary, množina B obsahuje kolečka, množina C obsahuje vyplněné útvary):

Vennovy diagramy využíváme například pro názornou ilustraci množinových operací. Následující obrázek ilustruje B \cap (A \cup C):

Množina prvkem množiny

Prvkem množiny může být i jiná množina. S takovým prvkem pracujeme stejně jako s jinými prvky, jen se nesmíme nechat zmást.

Příklad: Množina M = \{a, \{b, c, d, e\}, \emptyset\} obsahuje tři prvky:

• „obyčejný“ prvek a
• čtyřprvkovou množinu \{b, c, d, e\}
• prázdnou množinu \emptyset

Pozor na rozdíl mezi prázdnou množinou a množinou obsahující prázdnou množinu:

• \emptyset (též můžeme psát \{\}) je prázdná množina, její velikost je 0,
• \{\emptyset\} je množina obsahující prázdnou množinu, její velikost je 1.

Potenční množina

Potenční množina množiny M obsahuje všechny podmnožiny množiny M. Potenční množinu značíme \mathcal{P}(M) (existují i další značení, například 2^M).

Příklad: Pro množinu M = \{a, b, c\} jsou všechny její podmnožiny:

• \{\}
• \{a\}
• \{b\}
• \{c\}
• \{a, b\}
• \{a, c\}
• \{b, c\}
• \{a, b, c\}

Potenční množina je množina všech těchto množin, tj. \mathcal{P}(M)=\{\{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}.

Potenční množina množiny M vždy obsahuje jako svůj prvek samotnou množinu M. Každá potenční množina také obsahuje jako svůj prvek prázdnou množinu.

Výroky

Výrok je sdělení, u kterého má smysl otázka, zda je pravdivý, nebo nepravdivý, přičemž může nastat jen jedna z těchto možností.

Příklady výroků:

• Město Brno leží v České republice. (pravdivý výrok)
• Brno je hlavní město České republiky. (nepravdivý výrok)
• Na Marsu je zakopán poklad. (výrok, jehož pravdivost neznáme)

Příklady vět, které nejsou výroky: Máš hlad? Běž do obchodu pro vajíčka.

Logické spojky

Tautologie a kontradikce

Tautologie je výroková formule, která je vždy pravdivá. Příklady:

• A \vee \neg A (zákon vyloučení třetího)
• (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)

Kontradikce je výroková formule, která je vždy nepravdivá. Příkladem je formule A \wedge \neq A (zákon sporu).

Formule je splnitelná pokud není kontradikcí.

Pravdivostní tabulka logických operací

Přepis implikace a ekvivalence

Negování složených výroků

Pravidla pro negaci disjunkce a konjunkce (2. a 3. řádek tabulky) se nazývají De Morganovy zákony.

Kvantifikátory

Příklady výroků s kvantifikátory

Vlastnost Číslo x je sudé. můžeme vyjádřit jako Existuje celé číslo k takové, že x = 2\cdot k. To můžeme zapsat jako \exists k \in \mathbb{Z}: x = 2\cdot k.

Výrok Ponorky (P) nemohou létat (L). můžeme zapsat jako \forall x: P(x) \Rightarrow \neg L(x).

U složitejších výroků s více kvantifikátory musíme dávat na pořadí kvantifikátorů:

• \exists x\in M\ \forall y \in M: y \leq x – existuje prvek v množině M, který je větší roven všem ostatním prvkům v M, tj. výrok říká, že množina má největší prvek.
• \forall x\in M\ \exists y \in M: y \leq x – pro každý prvek v množině M existuje prvek x, který je menší nebo roven X. Protože klidně můžeme vybrat y=x, je to splněno pro každou množinu (pro pokročilé: tedy pouze pokud uvažujeme množiny čísel a \leq jako běžné uspořádání na číslech).

Negace výroků s kvantifikátory

Při negování výroků s kvantifikátory měníme existenční kvantifikátor na obecný (a naopak) a posouváme negaci „dovnitř“. Příklad:

• Není pravda, že všechny kočky (K) jsou černé (C).
• \neg (\forall x: K(x) \Rightarrow C(x))
• Změníme obecný kvantifikátor na existenční a znegujeme výrok.
• \exists x: \neg(K(x) \Rightarrow C(x))
• Nyní znegujeme implikaci pomocí pravidla \neg(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A \wedge \neg B).
• \exists x: K(x) \wedge \neg C(x)
• Existuje kočka, která není černá.

• Permutace je uspořádání prvků do fixního pořadí.
• Kombinace (k prvková) je výběr k prvků ze zadané množiny.
• Kombinace s opakováním (k prvková) je výběr k prvků ze zadané množiny, přičemž prvky se mohou opakovat.
• Variace (k prvková) je uspořádaný výběr k prvků ze zadané množiny.
• Variace s opakováním (k prvková) je uspořádaný výběr k prvků ze zadané množiny, přičemž prvky se mohou opakovat.

Příklady:

Počty permutací, kombinací a variací udává následující tabulka:

Kombinační číslo udává počet kombinací, tj. způsobů, jak vybrat k prvků z n prvkové množiny. Kombinační čísla se vyskytují velmi často v kombinatorických výpočtech, a proto mají speciální značení \binom{n}{k} (čteme „n nad k“).

Pro n \geq k \geq 0 platí: \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Pro kombinační čísla platí řada dalších vztahů, například:

• \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}
• \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}
• \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n

Příklady:

Náhodný jev je výsledek náhodného pokusu, o kterém lze po provedení pokusu rozhodnout, zda nastal nebo nenastal. Jeho typickým rysem je, že může, ale nemusí nastat. Pravděpodobnost jevu je míra očekávání, že jev nastane. Pravděpodobnost je číslo mezi 0 a 1. V běžném jazyce vyjadřujeme často pravděpodobnost v procentech, což je stonásobek pravděpodobnosti používané v matematice.

Pojmy a značení

Příklad

• V pytlíku mám pět koulí, z toho dvě jsou červené, dvě modré a jedna žlutá. Koule jsou stejné až na barvu. Pokus spočívá v tom, že z pytlíku poslepu vytáhnu kouli.
• „Vytáhnu červenou kouli.“ je náhodný jev. Jde o jev elementární. Jeho pravděpodobnost je 0,4 (v běžné řeči bychom mohli říct 40 %).
• „Vytáhnu červenou nebo žlutou kouli.“ je složený jev. Jeho pravděpodobnost je 0,6.
• „Vytáhnu kouli.“ je jev jistý.
• „Vytáhnu zelenou kouli.“ je jev nemožný.

Průměr a medián jsou míry centrální (střední) tendence, tj. vyjadřují „typickou“ hodnotu proměnných z určitého vzorku.

Průměr je součet hodnot vydělený jejich počtem. Přesněji řečeno jde o aritmetický průměr (existují i jiné druhy průměrů, např. harmonický či geometrický).

Medián je prostřední hodnota ze seřazené posloupnosti hodnot.

Příklad: Uvažme soubor hodnot 10, 3, 8, 4, 5. Průměr je součet dělený počtem, tj. 30:5=6. Pro určení mediánu hodnoty nejdříve seřadíme: 3, 4, 5, 8, 10. Medián je prostřední hodnota, tedy 5.

Pokud má soubor sudý počet prvků, většinou se za medián označuje průměr dvou středních hodnot. Například pro soubor hodnot 10, 2, 9, 4, 14, 5 je seřazená posloupnost 2, 4, 5, 9, 10, 14. Hodnoty uprostřed posloupnosti jsou 5 a 9, medián je tedy 7.

Korelace je vztah mezi dvěmi veličinami. Korelační koeficient je číslo, které vyjadřuje sílu tohoto vztahu.

Existuje více způsobů, jak korelaci měřit. Nejčastěji používaný je Pearsonův korelační koeficient. Ten se značí r a má následující vlastnosti:

• Nabývá hodnot z intervalu [-1, 1].
• Měří pouze lineární závislost mezi veličinami.
• Pokud je hodnota kladná, odpovídá zvětšení jedné veličiny zvětšení druhé.
• Pokud je hodnota záporná, odpovídá zvětšení jedné veličiny zmenšení druhé.
• Pokud je hodnota nulová, není mezi veličinami lineární závislost.
• Pokud je hodnota přesně 1 nebo -1, je mezi veličinami přesná lineární závislost.