Přehled všech témat

Sčítání a odčítání do 20

Vysvětlení sčítání do 20 na příkladě 8+7:

Sčítání a odčítání od 20 do 100

Vysvětlující video s řešeným příkladem:

Sčítání pod sebou

Čísla si napíšeme pod sebe, zarovnaná doprava. Postupujeme z pravé strany. Vždy sečteme dvě čísla pod sebou a výsledek zapíšeme pod ně. Pokud je výsledek větší než 10, zapisujeme pouze číslo na pozici jednotek. Číslo na pozici desítek přičteme v dalším sloupci.

Video s řešeným příkladem:

Odčítání pod sebou

Video s řešeným příkladem:

Malá násobilka

Dělení se zbytkem

Zbytek po dělení je početní operace související s celočíselným dělením. Pokud dělíme vzorec, pak můžeme psát vzorec, přičemž vzorec. Číslo vzorec nazýváme podíl, číslo vzorec zbytek. Operace dělení se zbytkem se v matematice nazývá též modulo.

Příklad: vzorec dává podíl vzorec a zbytek vzorec, protože vzorec. Pokud mám 14 jablek a rozdělím je spravědlivě mezi 4 děti, každé dítě dostane 3 jablka a ještě mi 2 zbydou.

Pořadí operací, závorky

Výrazy vyhodnocujeme v tomto pořadí:

1. závorky,
2. násobení a dělení,
3. sčítání a odčítání.

Porovnávání kladných a záporných čísel

Video vysvětlující porovnání záporných čísel:

Dělitelnost

Řešený příklad na dělitelnost:

Největší společný dělitel

Video ilustrující výpočet největšího společného dělitele: 

Nejmenší společný násobek

Video ilustrující výpočet nejmenšího společného násobku: 

Prvočísla

Vysvětlení základního principu prvočísel:

Mocniny

Mocniny jsou zkráceným zápisem opakujícího se násobení. Příklady:

• vzorec
• vzorec
• vzorec

Základní pravidla pro počítání s mocninami:

• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec

Odmocniny

Odmocňování v matematice je částečně inverzní operací k umocňování. Druhá odmocnina z čísla vzorec je takové číslo vzorec, pro které platí vzorec. Druhou odmocninu značíme vzorec. Obecně pak vzorec-tá odmocnina z vzorec je takové číslo vzorec, pro které platí vzorec, vzorec-tou odmocninu značíme vzorec.

Pro odmocniny platí následující vztahy (předpokládáme vzorec):

• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec

Záporné mocniny

Mocnina se záporným exponentem odpovídá převrácené hodnotě příslušné mocniny s kladným exponentem. Tedy vzorec. Toto pravidlo je důsledkem vlastnosti násobení vzorec. Musí tedy platit vzorec.

Konkrétní příklady:

• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec

Zlomky

Zlomky zapisujeme ve tvaru a/b, kde a se nazývá čitatel a b jmenovatel. Aby měl zlomek smysl, nesmí být jmenovatel nula. Pomocí zlomku lze vyjádřit libovolné racionální číslo.

Hodnota zlomku se nemění rozšiřováním a krácením (nenulovým číslem c). Rozšíření číslem c: vzorec. Krácení číslem c: vzorec.

Díky rozšiřování a krácení můžeme stejnou hodnotu zapsat nekonečně mnoha různými zlomky. Zlomek a/b je v základním tvaru, pokud jsou čísla a, b nesoudělná.

Poznávání zlomků

Video vysvětlující pojmy čitatel a jmenovatel:

Video s příklady:

Zlomky na číselné ose

Video ilustrující zakreslení zlomku na číselné ose:

Porovnávání zlomků

Porovnávání zlomků se stejnými čitateli a jmenovateli:

Porovnávání zlomků s různými čitateli a jmenovateli:

Krácení zlomků

Krácení zlomků se též nazývá převod na „základní tvar“. Najdeme největšího společného dělitele čitatele i jmenovatele. Tímto číslem následně čitatele i jmenovatele podělíme.

Smíšená čísla

Pokud je jmenovatel větší než čitatel (zlomek je menší než jedna) označuje se zlomek jako pravý. Nepravé zlomky (tedy ty, které jsou větší jak jedna) můžeme zapsat pomocí smíšeného čísla. Smíšené číslo vzorec je zápis součtu vzorec, kde vzorec je kladný zlomek menší než jedna. Příklady:

• vzorec
• vzorec

Sčítání a odčítání zlomků

Pokud mají sčítané zlomky stejného jmenovatele, stačí prostě sečíst čitatele a jmenovatele necháme stejného.

vzorec

Pokud mají sčítané zlomky různého jmenovatele, musíme je nejprve rozšířit tak, aby měly stejného jmenovatele, kterým bude (nejmenší) společný násobek původních jmenovatelů. Jakmile mají zlomky stejného jmenovatele, sečteme je výše uvedeným postupem.

Výsledný zlomek pokrátíme. Odčítání zlomků funguje stejným způsobem.

Vysvětlení základního případu sčítání zlomků se stejnými jmenovateli:

Vysvětlení sčítání zlomků s různými jmenovateli:

Násobení a dělení zlomků

Při násobení dvou zlomků prostě vynásobíme čitatele prvního zlomku a čitatele druhého zlomku a dostaneme výsledný čitatel, podobně pro jmenovatele:

vzorec

Pokud si chceme ušetřit násobení velkých čísel, můžeme zlomky krátit, a to i „do kříže“.

Dělení zlomků je to stejné jako násobení převráceným zlomkem:

vzorec

Řešený příklad na násobení dvou zlomků:

Řešený příklad na dělení dvou zlomků:

Procenta

Procento (%) je bezrozměrná jednotka vyjadřující jednu setinu celku. Například zápis „42 %“ (42 procent) je to stejné jako zlomek 42/100 nebo desetinné číslo 0,42.

Desetinná čísla

Desetinné číslo je způsob zápisu čísla pomocí celé části a desetinné části, která je oddělená desetinnou čárkou. Na prvním místě za desetinnou čárkou jsou desetiny, na druhém setiny, na třetím tisíciny a tak dále. Například číslo 1,3 značí „jedna celá a tři desetiny“, číslo 3,25 značí „tři celé a dvacet pět setin“.

Porovnávání desetinných čísel

Příklad na porovnávání desetinných čísel:

Zaokrouhlování desetinných čísel

Vysvětlení zaokrouhlování na desetiny:

Sčítání a odčítání desetinných čísel

Příklad na sčítání desetinných čísel:

Příklad na písemné sčítání desetinných čísel:

Násobení desetinných čísel

Násobení celého a desetinného čísla:

Zlomky a desetinná čísla

Video ilustrující převod desetinného čísla na zlomek:

Video ilustrující převod zlomku na desetinné číslo:

Osová souměrnost

Osová souměrnost je dána přímkou vzorec a přiřazuje každému bodu vzorec mimo osu takový bod vzorec, že přímka vzorec je osou úsečky vzorec. Jinými slovy: obraz má od osy stejnou vzdálenost jako původní bod a spojnice bodů je kolmá na osu.

Osová souměrnost zachovává vzdálenosti i úhly, jde tedy o druh shodnosti.

Útvar označujeme za osově souměrný, pokud je v nějaké osové souměrnosti obrazem sebe sama. Osu této souměrnosti pak nazýváme osou útvaru.

Příklady:

• Úsečka je osově souměrná a má v rovině jedinou osu souměrnosti (kolmici v jejím středu).
• Rovnoramenný trojúhelník je osově souměrný.
• Trojúhelník, který není rovnoramenný, není osově souměrný.
• Všechny pravidelné mnohoúhelníky jsou osově souměrné. Počet os souměrnosti je roven počtu vrcholů mnohoúhelníku.
• Kruh je osově souměrný a má nekonečně mnoho os souměrnosti.

Středová souměrnost

Středová souměrnost je dána bodem vzorec a přiřazuje každému bodu vzorec takový bod vzorec, že bod vzorec je středem úsečky vzorec. Jinými slovy: obraz má od středu stejnou vzdálenost jako původní bod a leží na polopřímce opačné k vzorec.

Středová souměrnost zachovává vzdálenosti i úhly, jde tedy o druh shodnosti. Středová souměrnost se středem v bodě vzorec je shodná s otočením o 180 stupňů podle středu vzorec.

Útvar označujeme za středově souměrný, pokud je v nějaké středové souměrnosti obrazem sebe sama. Střed této středové souměrnosti pak nazýváme středem souměrnosti objektu.

Příklady:

• Úsečka, obdélník, čtverec, kosočtverec, pravidelný šestiúhelník a kruh jsou středově souměrné.
• Žádný trojúhelník není středově souměrný.

Pythagorova věta

Pythagorova věta popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlého trojúhelníku. Věta zní: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad oběma jeho odvěsnami. Pythagorovu větu můžeme zapsat vztahem vzorec, kde vzorec označuje délku přepony pravoúhlého trojúhelníka a délky odvěsen jsou vzorec, vzorec.

Pythagorova věta umožňuje dopočítat délku třetí strany pravoúhlého trojúhelníka, u kterého známe délky dvou zbývajících stran. Pythagorova věta má v geometrii velice široké využití, protože mnoho složitějších útvarů můžeme rozližit na pravoúhlé trojúhleníky.

Lomené výrazy

Lomený výraz má tvar zlomku, v jehož jmenovateli je mnohočlen (výraz s proměnnou). Příkladem lomeného výrazu je vzorec. S lomenými výrazy počítáme podobně jako se zlomky.

U lomených výrazů je potřeba brát v potaz podmínky, za kterých má smysl. Lomený výraz má smysl pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je výraz ve jmenovateli různý od nuly.

Základní rovnice s jednou neznámou

Rozbor řešení jednoduché rovnice se sčítáním:

Rozbor řešení jednoduché rovnice s násobením:

Rovnice s lomenými výrazy

Video s řešenými příklady:

Kvadratické rovnice

Kvadratická rovnice je rovnice, ve které se vyskytuje jedna neznámá ve druhé mocnině. Základní tvar kvadratické rovnice je: vzorec, kde vzorec, vzorec, vzorec jsou reálná čísla a vzorec.

• Pokud je vzorec nazýváme rovnici ryze kvadratickou: vzorec.
• Pokud je vzorec mluvíme o rovnici bez absolutního členu: vzorec.

Každou kvadratickou rovnici lze řešit pomocí výpočtu diskriminantu vzorec. Pro něj platí: vzorec. Mohou nastat 3 situace:

• vzorec: rovnice nemá v vzorec řešení.
• vzorec: rovnice má jeden dvojnásobný kořen.
• vzorec: rovnice má dva různé reálné kořeny.

Pro kořeny rovnice platí:

• vzorec
• vzorec

Pomocí Vietových vzorců můžeme řešit kvadratické rovnice bez počítání diskriminantu. Pro kořeny rovnice platí:

• vzorec
• vzorec

V případě vzorec:

• vzorec
• vzorec

Lineární funkce

Funkce vzorec je lineární, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru vzorec, kde vzorec a vzorec jsou konstanty. Grafem lineární funkce je přímka. Parametr vzorec je směrnice, parametr vzorec určuje její svislý posun. Pro vzorec je funkce rostoucí, pro vzorec je funkce klesající. Definiční obor lineární funkce je celá množina reálných čísel.

Jednotky délky

Zkratky jednotek délky:

• m = metr
• dm = decimetr
• cm = centimetr
• mm = milimetr
• km = kilometr

Převody:

• 1 m = 10 dm
• 1 m = 100 cm
• 1 m = 1000 mm
• 1 km = 1000 m
• 1 cm = 10 mm

Jednotky hmotnosti

Zkratky jednotek hmotnosti:

• g = gram
• kg = kilogram
• dkg = dekagram
• t = tuna

Převody:

• 1 t = 1000 kg
• 1 kg = 1000 g
• 1 dkg = 10 g

Jednotky obsahu

Jednotky obsahu a jejich převody:

• mm² = milimetr čtvereční
• cm² = centimetr čtvereční
• m² = metr čtvereční
• km² = kilometr čtvereční
• ar = plocha čtverce o straně 10 m, tj. 100 m²
• ha = hektar, plocha čtverce o straně 100 m, tj. 10 000 m²
• 1 ha = 0,01 km² = 100 arů = 10 000 m²
• 1 ar = 0,01 ha = 100 m²
• 1 km² = 10 000 00 m² = 100 ha = 10 000 arů
• 1 m² = 10 000 cm²

Jednotky objemu

Jednotky objemu a jejich převody:

• mm³ = milimetr krychlový
• cm³ = centimetr krychlový
• dm³ = decimetr krychlový
• m³ = metr krychlový
• l = litr
• hl = hektolitr
• dl = decilitr
• ml = mililitr
• 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³ = 1 000 000 000 mm³
• 1 l = 1 dm³ = 1 000 cm³
• 1 ml = 1 cm³
• 1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml
• 1 hl = 100 l